Que es la derivada limite y continuida?

Idea de límite de una función en un punto : Sea la función y = x2 .

Si x tiende a 2 a

qué valor se aproxima y :

x ® 2 - 1'8 1'9 1'99 1'999

y ® 3'24 3'61 3'9601 3'996001

x ® 2 + 2'2 2'1 2'01 2'001

y ® 4'84 4'41 4'0401 4'004001

Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores

de y se acercan cada vez más a 4 .

Esta idea se suele expresar así :

lim x2 4

x 2 = ® -

(límite lateral por la izquierda)

lim x2 4

x 2 = ® +

(límite lateral por la derecha)

Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que

existe límite en ese punto y es :

lim x2 4

x 2 =

®

Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto .

Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0

es el valor al que se aproximan las imágenes mediante f de los puntos x cuando éstos se

aproximan al valor de x0 .

Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 si

es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x

suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo x ¹ x0 .

Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia

de f(x) a l es menor que cualquier valor e por pequeño que este sea , es decir / f(x) - l /.