Progresiones geometricas :Hallar el 8¤ término de3 / 4 : - 1 / 2 : 1 / 3?

En progresiones geométricas PG la fórmula del término general dice :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7Bn%7D%20%3D%20%20a_%7B1%7D%20%2A%20r%5E%7Bn-1%7D%20" />

La razón de cualquier progresión geométrica se calcula tomando dos términos consecutivos y dividiendo el 2º entre el 1º, en este caso.

Razón = ( - 1 / 2) : (3 / 4) = - 4 / 6 .

Simplificando .

= - 2 / 3

Nos piden el 8º término, es decir, como si tuviéramos una PG de 8 términos donde .

A₁ = 3 / 4

r = - 2 / 3

n = 8

Sustituyo en la fórmula los datos conocidos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B8%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%2A%20%20%28%5Cfrac%7B-2%7D%7B3%7D%29%20%5E%7B%288-1%29%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B8%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%2A%20%28%5Cfrac%7B-128%7D%7B2187%7D%29%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B8%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-384%7D%7B8748%7D%20" />

Para simplificarla hasta la fracción irreducible sólo hemos de calcular el máximo común divisor de numerador y denominador y dividir ambos por dicho número.

Descompongo en factores primos :

384 = 2⁷×3

8748 = 2²× 3²× 263

mcd (384, 8748) = producto defactores comunes elevados a los menores exponentes que son = 2²× 3 = 12

La fracción irreducible se obtiene así :

( - 384 : 12) / (8748 : 12) = - 32 / 729 = a₈

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7B8%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B-32%7D%7B729%7D%20" />

Saludos.