Para hacer un túnel se sabe que el primer metro tiene un costo de $1, 000, 000 y por cada metro más se debe agregar $80, 000 ¿Cuál es el largo del túnel si se ha debido cancelar $33, 264, 000, 000?

Se resuelve por progresión aritmética (PA).

1º metro = 1.

000. 000

2º metro = 1.

000. 000 + 80.

000 = 1.

080. 000

3º metro = 1.

080. 000 + 80.

000 = 1.

160. 000

y así sucesivamente se le van sumando 80.

000

De aquí ya podemos conocer el primer término :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3D1.000.000" />

También conocemos la diferencia entre términos consecutivos :

d = 80.

000

Y también conocemos la suma de todos los términos de la progresión : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%2033.264.000.000" />

No conocemos el nº de términos "n" de la PA el cual se identifica con la pregunta del ejercicio ya que serán los metros del túnel puesto que por cada metro se paga una cantidad aumentada en 80.

000 sobre la anterior.

Y tampoco conocemos el valor del último término <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" />

Hay que acudir a las dos fórmulas principales de las PA para construir un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que serán justamente el último término<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" /> y el número de términos "n"

Fórmula del término general :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad%20%5C%20%5C%20%5C%20...sustituyendo%5C%20valores...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D1000000%2B%28n-1%29%2A80000%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D1000000%2B80000n-80000%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D920000%2B80000n" />

Y ahí dejo la primera ecuación.

Ahora acudo a la fórmula de suma de términos de cualquier PA :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%5C%20%5C%20%5C%20sustituyendo%5C%20valores...%20%5C%5C%20%5C%5C%2033264000000%3D%20%5Cfrac%7B%281000000%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B66528000000%7D%7Bn%7D%20-1000000%3Da_n" />

Ahí te quedan las dos ecuaciones ya con <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" /> despejado para que resuelvas el sistemapor el método de igualación y calcules el valor de "n" que es la única incógnita que queda.

Saludos.