Me pueden ayudar? Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja de carton de 16cm de ancho y 22cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado por el cual se obtiene una caja de volumen maximo usando criterio de la primer derivada.
En resumen
Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja de cartón de 16 cm de ancho y 22 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba.
Alvaradovelandpcuas0
Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja de cartón de 16 cm de ancho y 22 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba.
Calcular el lado del cuadrado por el cual se obtiene una caja de volumen máximo usando criterio de la primer derivada.
Hola!
Comenzamos haciendo un esquema de la caja dándole notaciones Matemáticas a sus parámetros : L = Largoa = anchoh = alturaLlamamos " X " al lado del cuadrado de las esquinas ; por lo tanto los parámetros en función de " X " quedan : L = 22 - 2xa = 16 - 2xh = xSabemos que el Volumen de un Prisma de base Rectangular : V = L × a × h ⇒V = (22 - 2X)(16 - 2X)×X ⇒V = (352 - 44X - 32X + 4X²)×X ⇒V = 4X³ - 76X² + 352X Función ObjetivoDebemos hallar el Dominio de valores para el cual es lógico calcular dicho volumen : Partimos de : V = (22 - 2X)(16 - 2X)×X y lo estudiamos por factor ⇒22 - 2x > 0 ⇒22 > 2x ⇒22 / 2 > x ⇒11 > X ⇒x < 1116 - 2X > 0 ⇒16 > 2x ⇒16 / 2 > x ⇒8 > x ⇒X < 8X > 0 Por lo tanto debemos estudiar estas 3 regiones de desigualdad y hallar su solución (Ver grafico adjunto)Dominio : x ∈ (0 ; 8) ; 0 < X < 8Ahora hallamos la derivada primera de la Función Objetivo : V = 4X³ - 76X² + 352X ⇒V' = 12X² - 152X + 352 Igualo a cero la Derivada Primera y resuelvo por la fórmula General : X = ( - b + - √b² - 4×a×c) / 2×a ⇒Soluciones : X₁ = 9, 62X₂ = 3, 05X₁ = 9, 62 queda fuera del Dominio.
X₂ = 3, 05 esta dentro del Dominio.
Con la Derivada Segunda podemos comprobar que este Punto Relativo es un Máximo.
V' = 12X² - 152X + 352 ⇒V" = 24X - 152Sustituyo en la ecuación de la derivada segunda el valor de " X " hallado anteriormente, teniendo en cuenta que : Si f(x) < 0 ⇒ Concavidad Negativa ⇒ que el punto critico es un MáximoV" = 24X - 152V" = 24(3, 05) - 152V" = - 78, 8 < 0 ⇒ MáximoPor lo tanto la medida del cuadrado que Maximiza el volumen de la caja es : X = 3, 05 Lado del cuadradoSi queremos hallar el Volumen Máximo, sustituimos " X " en la Ecuación Objetivo del Volumen : V.
Max. = 4X³ - 76X² + 352X V.
Max. = 4(×3, 15)² - 76×(3, 15)² + 352×(3, 05)V.
Max. = 480 cm²Dejo 2 archivos adjuntos con esquemas y mas cálculos.
Espero haber ayudado!
Saludos!
De cada extremo de las esquinas se recorta una cantidad x Queda una caja prismática de altura x y de bases (50 - 2 x), (70 - 2 x) El volumen de la caja es V = x (50 - 2 x) (70 - 2 x) = 4 x³ - 240 x² + 3500 x Una función…
Respuesta : Primero se saca la raíz de 98cm2luego se multiplica con los 2cmExplicación paso a paso : raiz / 98cm2 = 9. 89 9. 89 * 2cm = 19. 79cm.