Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triangulo rectangulo son dos numeros enteros consecutivos?

Veamos.

Sea x una de las proyecciones sobre la hipotenusa ; x + 1 es la otra.

La hipotenusa mide entonces 2 x + 1

Sea u uno de los catetos y z el otro.

La altura correspondiente a la hipotenusa mide√42

Para el triángulo rectángulo se cumple : (2 x + 1)² = u² + v² (1)

Ahora bien : u, x y√42 es un triángulo rectángulo de hipotenusa u

z, x + 1 y√42 es otro triángulo rectángulo de hipotenusa z

Por lo tanto :

u² = x² + 42 ;

z² = (x + 1)² + 42 ; reemplazamos en (1)

(2 x + 1)² = x² + 42 + (x + 1)² + 42 ; quitamos paréntesis :

4 x² + 4x + 1 = x² + 42 + x² + 2 x + 1 + 42 ; simplificando :

2 x² + 2 x - 84 = 0 ; ecuación de segundo grado en x cuyas soluciones son :

x = 6 ; x = - 7 ; esta última se desecha por ser negativa.

Finalmente la hipotenusa mide : 6 + 6 + 1 = 13 cm

Saludos Herminio.