La suma de un número infinito de términos de una P?
La suma de un número infinito de términos de una P. G. es 4 y la suma de sus cubos es 192. Determine la progresión.
10Alduuu
En resumen
Buenos días : La suma de los términos de una P. G. , conociendo el primer término y la razón es : Sn = a₁ / (1 - r). Por tanto : 4 = a₁ / (1 - r) = = = = = = = = = = ⇒ a₁ = 4 - 4r (1) Por otro lado, el término general de una P. G. es : an = a₁. R ^ (n - 1).
Mejor respuesta
Buenos días :
La suma de los términos de una P.
G. , conociendo el primer término y la razón es :
Sn = a₁ / (1 - r).
Por tanto :
4 = a₁ / (1 - r) = = = = = = = = = = ⇒ a₁ = 4 - 4r (1)
Por otro lado, el término general de una P.
G. es :
an = a₁.
R ^ (n - 1).
Vamos a calcular los primeros términos, y al lado pondremos sus cubos.
A₁ = a₁.
= = = = = ⇒a₁³ = a₁³.
A₂ = a₁.
R = = = = ⇒a₂² = a₁³.
R³
a₃ = a₁.
R² = = = = ⇒a₃³ = a₁³.
R⁶
Por tanto en la nueva progresión geométrica, donde cada término es el cubo de la primera progresión geométrica, el primer término vale.
A₁ = a₁³.
Y la razón la podemos calcular, dividiendo 2 términos consecutivos.
R = a₂ / a₃ = a₁³.
R³ / a₁³ = r³
Por tanto :
Sn = a₁ / (1 - r)
192 = a₁³ / (1 - r³).
(2)
Con las ecuaciones (1) y (2) vamos a tener un sistema de ecuaciones :
a₁ = 4 - 4r
192 = a₁³ / (1 - r³)
Que lo resolveremos por sustitución :
192 = (4 - 4r)³ / (1 - r³).
192 - 192r³ = 64 - 192r + 192r² - 64r³
128r³ + 192r² - 192r - 128 = 0
Lo simplificamos dividiendo todos los términos por "64".
2r³ + 3r² - 3r - 2 = 0
Resolvemos por Ruffini : 2 3 - 3 - 2
1 2 5 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 5 2 0
2r³ + 3r² - 3r - 2 = (r - 1).
(2r² + 5r + 2)
Ya sabemos que una de las soluciones es r = 1 ; pero esta solución no nos vale.
Ya que [r].
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