La suma de tres terminos consecutivos de una sucesion aritmetica es 12 y la suma de sus cuadrados es 66. Calcula dichos numeros NECESITO EL PROCEDIMIENTO.
En resumen
A ver si puedo con él.
A ver si puedo con él.
Habrá que plantear un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, una será el primer término que llamaré "a" y la otra incógnita será la diferencia "d" que aparece en cualquier sucesión ya que es el número que se suma o resta a un término para conseguir el siguiente.
Así pues tendremos los términos :
a₁ = a
a₂ = a + d
a₃ = a + d + d = a + 2d
También tenemos el dato de que disponemos de 3 términos, es decir que la progresión consta de n = 3 .
Y por tanto, el término a₃ (a subtres) = an (a subene)
Identificados los términos y la diferencia, aplico la fórmula de suma de términos de una progresión aritmética :
Sn = (a₁ + an)·n / 2 .
Sustituyendo por lo de arriba.
Sn = [a + (a + 2d)]·3 / 2 .
Y como sabemos que Sn = 12 se plantea :
[a + (a + 2d)]·3 / 2 = 12 - - - - - - - - - - - - - - - > 1ª ecuación que se desarrolla.
(2a + 2d)·3 / 2 = 12 - - - - - > (6a + 6d) / 2 = 12 - - - - > 6a + 6d = 24 .
Dividiendo por 6 .
A + d = 4 .
Despejando "d" - - - - - - - > d = 4 - a
La segunda ecuación es más sencilla de ver ya que se basa en los cuadrados de los términos y será :
a² + (a + d)² + (a + 2d)² = 66 .
Desarrollando los binomios al cuadrado.
A² + a² + d² + 2ad + a² + 4d² + 4ad = 66 - - - - - > 3a² + 5d² + 6ad - 66 = 0
Método de sustitución.
Sustituyo el valor de "d" de la primera en la segunda.
3a² + 5·(4 - a)² + 6a(4 - a) - 66 = 0 - - - - - > 3a² + 5·(16 + a² - 8a) + 24a - 6a² - 66 = 0 - - - - - >
3a² + 80 + 5a² - 40a + 24a - 6a² - 66 = 0 - - - - - - - > 2a² - 16a + 14 = 0 .
Divido por 2 .
A² - 8a + 7 = 0 .
Aplico fórmula general.
________ –b ± √ b² – 4ac
A = ▬▬▬▬▬▬▬ .
De donde salen las raíces.
2a
A₁ = (8 + 6) / 2 = 7
A₂ = (8 - 6) / 2 = 1
Voilà!
Salió biennnn!
Esas raíces nos están dando el valor del primer término y el del tercero ya que la diferencia "d" será 3, así que los términos buscados serán :
1 , 4 , 7 .
Que sumados nos dan 12.
Comprobada la primera parte.
Compruebo ahora la segunda parte.
La suma de sus cuadrados es 66
1² + 4² + 7² = 1 + 16 + 49 = 66 .
Comprobado también.
Casi era más complicado y laborioso desarrollar el sistema de ecuaciones que deducir las mismas.
Saludos.
Sean los numeros naturales y consecutivos x x + 1 (x + x + 1)² = x² + (x + 1)² + 312 (2x + 1)² = x² + x² + 2x + 1 + 312 4x² + 4x + 1 = 2x² + 2x + 313 4x² - 2x² + 4x - 2x + 1 - 313 = 0 2x² + 2x - 312 = 0 dividimos todo…
Llamamos x al nº que queremos conocer y (x + 1) al nº consecutivo x + (x + 1) ^ 2 = 55 x + x ^ 2 + 2x + 1 = 55 x ^ 2 + 3x - 54 = 0 resolvemos la ec. De 2º grado y no da x = - 9 ( no) y x = 6 luego el nº que buscamos es…
Respuesta : 3x = 2x + 15Explicación paso a paso :
1r número - - > x 2n número - - > x + 1 3r número - - > x + 2 x + x + 1 + x + 2 = 33 x + x + x = 33 - 2 - 1 3x = 30 x 30 / 3 = 10 1r núm - - > x = 10 2n núm - - > x + 1 = 10 + 11 = 11 3r núm - - > x + 2 = 10 + 2 = 12…
El numero menor es 7, por lo que los 3 numeros mencionados son 7, 8 & 9.
Descomponemos el número 60 en factores : 60 = 2 * 2 * 3 * 5 Buscamos en los factores 3 números consecutivos : 3 * (2 * 2) * 5 = 3 * 4 * 5 Por tanto los números son 3, 4 y 5. La suma de dichos números : 3 + 4 + 5 = 12.