La solución de la ecuación diferencial homogénea : y ^ 3 + x ^ 3 dy / dx = xy ^ 2 dy / dx, corresponde a : a. Y = ce ^ 2 (y ^ 2 / (2x ^ 2 )) b. E ^ (x / y) = cx c. Y = lnx + e ^ (y ^ 2 / 2) + c d. Y = e ^ (y ^ 2 / x ^ 2 ) + c.
ax² + bx + c = 0
Tenemos una ecuación diferencial homogénea tal que : (y³ + x)³ dy / dx = xy² → No es homogénea Así como esta escrita la ecuación no es para nada homogénea, por tanto presumo que realmente tiene la siguiente forma : (y³ + x³) dy / dx = xy²Recordemos que en la ecuaciones homogéneas todas las potencias deben ser iguales, verifiquemos : y³ → potencia 3 x³ → potencia 3 xy² → se suman las potencias 1 + 2 = 3, potencia 3Para resolver este tipo de ecuaciones haremos un cambio de variables.
Y = ux → dy = xdu + udxReescribimos y sustituimos el cambio en nuestra ecuación, tenemos : (y³ + x³) dy - (xy²) dx = 0 (u³x³ + x³)(xdu + udx) - (x(ux)²) dx = 0 u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du + x³u dx - ux³ dx = 0 Simplificamos y tenemos : u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du = 0 Multiplicamos por el factor (1 / x⁴u⁴) ya que es una ecuación separable.
1 / u · du + 1 / x dx + 1 / u⁴ du = 0 Ya que esta separada procedemos a integrar : ∫1 / u · du + ∫1 / x dx + ∫1 / u⁴ du = 0 Ln|u| + ln|x| - u⁻³ / 3 + C = 0 Debemos devolver el cambio sabiendo que u = y / x Ln|y / x| + ln|x| - (y / x)⁻³ / 3 + C = 0 ln|y| - x³ / 3y³ + C = 0 y = e ^ (x³ / 3y³) + C → Solución general NOTA : Verificar si el enunciado no tiene ningún error, de todas manera el proceso es el mismo.
Verificar el dy / dx en que lado de la igualdad va, porque no puede ir en los dos lados.