La base de un rectangulo es cuatro veces la altura y la diagonal hace 340m?

Tienes un rectángulo de base vamos a llamarla (b), la altura (h) y la diagonal mmm.

(m)entonces quedaría así : (voy a numerar las ecuaciones que van apareciendo)

b = 4(h) (1)

m = 340 (2)

y la diagonal como sabemos un rectángulo tiene sus lados perpendiculares por lo tanto tienes ángulos rectos, y por lo tanto si trazamos un diagonal se va a formar un triángulo rectángulo, y por lo tanto podemos aplicar pitágoras en dicho rectángulo.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20b%5E%7B2%7D%2B%20h%5E%7B2%7D%20%3D%20m%5E%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%0A" /> (3)

ahora ponemos (1) y (2) en (3) así ;

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%284h%29%5E%7B2%7D%2B%20%28h%29%5E%7B2%7D%3D%28340%29%5E%7B2%7D%20%20%20%20%5C%5C%2016%20h%5E%7B2%7D%20%2B%20h%5E%7B2%7D%3D115600%20%5C%5C%2017%20h%5E%7B2%7D%20%3D115600%20%5C%5C%20%20h%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7B115600%7D%7B17%7D%20%5C%5C%20h%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B115600%7D%7B17%7D%20%7D%20%5C%5C%20h%3D%20%5Csqrt%7B6800%7D%3D20%20%5Csqrt%7B17%7D%20" />≈82.

46 (4)

entonces ya obtuvimos el valor de h entonces solo nos queda saber cuanto vale la base y podemos reemplazas (4) en (1) así

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%3D4%20%2820%5Csqrt%7B17%7D%29%20%3D80%20%5Csqrt%7B17%7D%20" />≈329.

85 (5)

Podemos comprobar usando la ecuación (3) y reemplazamos los valores de (4) y (5)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20b%5E%7B2%7D%2B%20h%5E%7B2%7D%3D%20m%5E%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%20%20%2820%20%5Csqrt%7B17%7D%20%29%5E%7B2%7D%2B%2880%20%5Csqrt%7B17%7D%29%20%5E%7B2%7D%3D340%20%5E%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20400%2817%29%2B6400%2817%29%3D340%5E2%20%5C%5C%20%2817%29%28400%2B6400%29%3D340%5E2%20%5C%5C%20%2817%29%286800%29%3D340%5E2%20%5C%5C%206800%3D%28%20%5Cfrac%7B%28340%29%28340%29%7D%7B17%7D%20%29%20%5C%5C%206800%3D%2820%29%28340%29%20%5C%5C%206800%3D6800" />

y llegamos a una cosa obvia.

Espero te haya podido ayudar.

Nota : si alargué mucho los cálculos fue para que veas que no se necesita una calculadora siempre.