Hallar la suma de los números impares del 51 al 813?

Todo número impar se encuentra en una progresión aritmética.

Ejemplo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=5%3B%5C%207%3B%5C%209%3B%5C%2011%3B%5C%20..." />

Cada valor se suma en dos al anterior.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=5%3B%5C%205%2B2%3B%5C%205%2B2%2B2%3B%5C%205%2B2%2B2%2B2%3B%5C%20..." />

Ahora vamos a mostrar la siguiente progresión.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=51%3B%5C%2053%3B%5C%2055%3B%5C%2057%3B%5C%2059%3B%20...%3B%5C%20813" />

Nos piden la suma de todos estos términos, pero lo volveré a escribir de esta forma.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=51%3B%5C%2051%2B2%3B%5C%20%2851%2B2%29%2B2%3B%5C%20%2851%2B2%2B2%29%2B2%3B%5C%20%2851%2B2%2B2%2B2%29%2B2%3B%20..." />

Cada término, suma al anterior en dos.

Entonces para calcular el término ene - ésimo podemos hacer lo siguiente.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=51%3B%5C%2051%2Br%3B%5C%2051%2B2r%3B%5C%2051%2B3r%3B%5C%2051%2B4r%3B%20...%3B%5C%2051%2B%28n-1%29r%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20t_%7Bn%7D%3D51%2B%28n-1%29r%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20r%3D2" />

Quiero saber cual es el lugar, del término 813.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=813%3D51%2B%28n-1%29r%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20762%3D2%28n-1%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20381%3Dn-1%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D382" />

Entonces el término de lugar 382, será 813.

813 es el último término, entonces la progresión tiene 382 términos.

Ahora vamos a sumar todos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=51%20%2B%20%2851%2Br%29%20%2B%20%2851%2B2r%29%2B%2851%2B3r%29%2B...%2B%2851%2B%28n-1%29r%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2051%20%2B%20%2851%2Br%29%20%2B%20%2851%2B2r%29%2B%2851%2B3r%29%2B...%2B%2851%2B%28382-1%29r%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2051%20%2B%20%2851%2Br%29%20%2B%20%2851%2B2r%29%2B%2851%2B3r%29%2B...%2B%2851%2B381r%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2051%2B51%2B51%2B...%2B51%2Br%2B2r%2B3r%2B4r%2B...%2B381r%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2051%5C%20%5Ccdot%5C%20382%5C%20%2B%5C%20r%281%2B2%2B3%2B4%2B...%2B381%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2051%5C%20%5Ccdot%5C%20382%5C%20%2B%5C%202%281%2B2%2B3%2B4%2B5%2B...%2B381%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2019482%2B2%20%5Cdfrac%7B%28381%29%28381%2B1%29%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2019482%2B381%28382%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%2019482%2B145542%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20165024%0A" />

RESPUESTA<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cboxed%7B165024%7D" />.