Hallar la raiz cuadrada de los complejos :a)5 + 12ib)1 / (3 + 4i)?

Tienes lo siguiente :

Buscas un número de la forma a + bi con a, b∈Rque elevado al cuadrado sea el resultado que quieras :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%29%20%20%20%5C%5C%20%5Csqrt%7B5%2B12i%7D%3Da%2Bbi%5C%5C%20%28%5Csqrt%7B5%2B12i%7D%29%5E2%3D%28a%2Bbi%29%5E2%5C%5C5%2B12i%3Da%5E2%2B2abi-b%5E2%20%5C%5C%20%20%20%5CRightarrow%205%3Da%5E2-b%5E2%20%5C%5C%20%5CRightarrow%2012i%3D2abi%5CRightarrow%20ab%3D6%5Cto%20a%3D%20%5Cfrac%7B6%7D%7Bb%7D%20%20%5C%5C%205%3D%28%20%5Cfrac%7B6%7D%7Bb%7D%20%29%5E2-b%5E2%3D%20%5Cfrac%7B36%7D%7Bb%5E2%7D-b%5E2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%205%3D%20%5Cfrac%7B36%7D%7Bb%5E2%7D-b%5E2%20%5C%5C%205b%5E2%3D36-b%5E4%20%5C%5C%20b%5E4%2B5b%5E2-36%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20b%5E2%3D%20%5Cfrac%7B-5%5Cpm%20%5Csqrt%7B5%5E2-4%281%29%28-36%29%7D%20%7D%7B2%281%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-5%5Cpm%20%5Csqrt%7B169%7D%20%7D%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7B-5%5Cpm13%7D%7B2%7D%20%20%20%5C%5C%20b_1%5E2%3D%28-5%2B13%29%2F2%3D4%5CRightarrow%20b%3D%20%5Csqrt%7B4%7D%3D2%20%20%5C%5C%20b_2%5E2%3D%28-5-13%29%2F2%3D-9%5CRightarrow%20b%3D%20%5Csqrt%7B-9%7D%3D3i%20%20%5C%5C%20a%3D%20%5Cfrac%7B6%7D%7Bb%7D%3D%20%5Cfrac%7B6%7D%7B2%7D%3D3%20%5C%5C%20%20%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7BComo%20a%20y%20b%20son%20numeros%20reales%2C%20solo%20sustituyes%20b1%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cboxed%7Ba%2Bbi%3D3%2B2i%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%29%20%5C%5C%20%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%2B4i%7D%29%3D%28a%2Bbi%29%5E2%3Da%5E2%2B2abi-b%5E2%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%2B4i%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B3-4i%7D%7B3-4i%7D%3D%20%5Cfrac%7B3-4i%7D%7B9%2B16%7D%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B25%7D%20-%20%5Cfrac%7B4i%7D%7B25%7D%20%3Da%5E2%2B2abi-b%5E2%20%20%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20%20%5CRightarrow%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B25%7D%3Da%5E2-b%5E2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5CRightarrow%20%20-%5Cfrac%7B4i%7D%7B25%7D%3D2abi%5CRightarrow%20%20-%5Cfrac%7B4%7D%7B50b%7D%3Da%20%3D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B25b%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20a%5E2-b%5E2%3D%20%20%20%28-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B25b%7D%20%29%5E2-b%5E2%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B25%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B25%5E2b%5E2%7D-b%5E2%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B25%7D%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2025%5E2b%5E2%28%20%5Cfrac%7B4%7D%7B25%5E2b%5E2%7D-b%5E2%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B25%7D%20%20%29%5CRightarrow%204-25%5E2b%5E4%3D75b%5E2%20%5C%5C%20%20%20625b%5E4%2B75b%5E2-4%3D0" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%5E2%3D%20%5Cfrac%7B-75%5Cpm%20%5Csqrt%7B75%5E2-4%28625%29%28-4%29%7D%20%7D%7B2%28625%29%7D%3D%20%5Cfrac%7B-75%5Cpm%20%5Csqrt%7B15625%7D%20%7D%7B1250%7D%3D%20%5Cfrac%7B-75%5Cpm125%7D%7B1250%7D%20%5C%5C%20b_1%5E2%3D%28-75%2B125%29%2F1250%3D50%2F1250%3D1%2F25%5Cto%20b%3D%20%5Csqrt%7B1%2F25%7D%3D1%2F5%20%20%20%20%5C%5C%20%20b_2%5E2%3D%28-75-125%29%2F1250%3D-200%2F1250%3D-4%2F25%5Cto%20b%3D%20%5Csqrt%7B-4%2F25%7D%3D2i%2F5%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Ctext%7BTomas%20la%20solucion%20real%20b1%3D1%2F5%7D%20%5C%5C%20a%3D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B25b%7D%3D%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B25%281%2F5%29%7D%3D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cboxed%7Ba%2Bbi%3D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%2B%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B5%7D%20%20%7D" />

Saludos!