Hallar el área de una región R representada por 2 integrales iteradas?

Hola,

Para estos ejercicios siempre es bueno graficar, ya que te da una idea de la Región que buscas.

Primero realizas la intersección entre ambas curvas, igualando las imagenes,

y = 4x - x²

y = - 3x + 6

4x - x² = - 3x + 6

x² - 7x + 6 = 0

(x - 1)(x - 6) = 0

Soluciones,

x₁ = 1 , x₂ = 6

Ya tenemos los límites de integración en el eje x, el área de una región es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%20%3D%20%5Cint%5Climits%5Ed_c%20%5Cint%5Climits%5Eb_adA" />

Estamos trabajando en coordenadas cartesianas, por lo tanto, nuestro diferencial de área (dA) es dxdy .

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%20%3D%20%5Cint%5Climits%5Ed_c%20%5Cint%5Climits%5Eb_adxdy" />

Sabemos que en el eje x tenemos que integrar desde x = 1 a x = 6 .

Ahora tenemos que ver desde donde a donde integramos en el eje y, el área que buscamos está entre las dos funciones, entonces integraremos en el eje y , desde la recta hasta la parábola.

Por lo tanto la integral iterada queda :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%20%3D%20%5Cint%5Climits%5E6_1%20%5Cint%5Climits%5E%7B4x-x%5E%7B2%7D%7D_%7B-3x%2B6%7Ddydx" />

Resolvemos la primera integral iterada (la "de más adentro") sobre dy, entonces quedaría :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%20%3D%20%5Cint%5Climits%5E6_1%20%284x-x%5E%7B2%7D%29-%20%28-3x%2B6%29dx%20%5C%5C%20%5C%5C%0A" />

Ahora solo queda resolver esta integral,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%20%3D%20%5Cint%5Climits%5E6_1%20%284x-x%5E%7B2%7D%29-%20%28-3x%2B6%29dx%20%3D%20%5Cint%5Climits%5E6_1%20%28-x%5E%7B2%7D%2B7x-6%29dx%5C%5C%20%5C%5C%0AS%20%3D%20%28%20%5Cfrac%7B-x%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7B7x%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20-%206x%29%7C%5E%7B6%7D_%7B1%7D%20%20%0A" />

Evaluando queda,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7BS%3D%20%5Cfrac%7B125%7D%7B6%7D%7D%20" />

Esa sería el área entre ambas curvas,

Salu2 : ).