Halla el perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que la altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm, y la diferencia de las medidas de sus proyecciones ortogonales de sus catetos sobre la hipo?

Halla el perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que la altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm, y la diferencia de las medidas de sus proyecciones ortogonales de sus catetos sobre la hipotenusa mide 7 cm.

____________________________________________________________Hay que recurrir al teorema de la altura el cual queda perfectamente explicado en la imagen adjunta.

Según lo que ahí se aprecia y teniendo en cuenta que una de las proyecciones mide 7 cm.

Más que la otra, tenemos estos datos : Altura (h) = 12Proyección (n) = xProyección (m) = x + 7Usando dicho teorema tenemos esto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7Bx%7D%7B12%7D%20%3D%5Cdfrac%7B12%7D%7Bx%2B7%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20x%2A%28x%2B7%29%3D12%5E2%5C%5C%20%5C%5C%20x%5E2%2B7x-144%3D0%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20x_1%3D%5Cdfrac%7B-7%2B25%7D%7B2%7D%3D9" />La segunda raíz / solución de la ecuación cuadrática se desestima por salir un resultado negativo y no ser válido para este ejercicio.

Tenemos pues que : n = 9 cm.

M = 9 + 7 = 16 cm.

Hipotenusa = 9 + 16 = 25 cm.

Hay que saber ahora lo que miden los catetos y para ello usamos la altura y sus proyecciones de tal modo que ahora los catetos serán las hipotenusas de los triángulos rectángulos menores (ACD y BCD) que se forman dentro del mayor ABCRecurro al teorema principal de Pitágoras : H₁ = √(12² + 9²) = √225 = 15 cm.

Mide el cateto menorH₂ = √(12² + 16²) = √400 = 20 cm.

Mide el cateto mayorEl perímetro que nos pide es la suma de los tres lados : 15 + 20 + 25 = 60 cm.

Saludos.