Fórmula para hallar la suma de los n números naturales :1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2?

Buen Día.

La ecuación que nos permite hallar la suma de los primerosn términos de la sucesión An = n² se obtiene de :

Sea un binomio al cubo :

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

restemos b³ a ambos lados de la igualdad :

(a + b)³ - b³ = a³ + 3a²b + 3ab²

Ahora :

reemplacemos b por los términos de la sucesión Cn = n y a por 1 :

(1 + 0)³ - 0³ = 1³ + 3(1)²(0) + 3(1)(0²)

(1 + 1)³ - 1³ = 1³ + 3(1)²(1) + 3(1)(1²)

(1 + 2)³ - 2³ = 1³ + 3(1)²(2) + 3(1)(2²) .

. . (1 + n)³ - n³ = 1³ + 3(1)²(n) + 3(1)(n²)

Sumemos estas (n + 1) ecuaciones :

(n + 1)³ = (n + 1) + 3(0 + 1 + 2 + 3.

+ n) + 3(0² + 1² + 2² + .

+ n²)

Donde se nota que en la parte izquierda se cancelan todos los términos menos dos.

Ahora :

La serie numérica Bn = 0 + 1 + 2 + 3.

+ n tiene como resultado :

n(n + 1) / 2, reemplazando :

(n + 1)³ = (n + 1) + 3(n(n + 1) / 2) + 3(0² + 1² + 2² + .

+ n²)

2(n + 1)³ - 2(n + 1) - 3n(n + 1) = 6(0² + 1² + 2² + .

+ n²)

(n + 1) (2n² + 4n + 2 - 2 - 3n) = 6(0² + 1² + 2² + .

+ n²)

(n + 1)(2n² + n) / 6 = (0² + 1² + 2² + .

+ n²)

n(n + 1)(2n + 1) / 6 = 1² + 2² + .

+ n²

Demostrando por inducción :

Dem :

Queremos probar que

∀ n ∈ Ν : 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

Sea Pn : 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

debemos probar que P(n) satisface :

1) P(1) : 1² = 1(2)(3) / 6 = 1, lo cual es verdadero.

2) Sea n ∈ Ν , debemos probar que P(n) ⇒ ρ(n + 1) es verdadero.

Iniciemos suponiendo que P(n) es verdadero, es decir se cumple :

1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

Como P(n + 1) : 1² + 2² + 3².

+ n² + (n + 1)² = (n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1) / 6

Sea

1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

entonces sumando (n + 1)² a ambos lados de la igualdad :

1² + 2² + 3² + … + n² + (n + 1)² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 + (n + 1)² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 + 6(n + 1)² / 6 = (n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1)) / 6 = (n + 1)(2n² + 7n + 6) / 6

Factorizando :

2n² + 7n + 6 = ( (2n)² + 7(2n) + 12 ) / 2 = ( (2n + 3)(2n + 4) ) / 2 = (2n + 2 + 1)(n + 2) = (2(n + 1) + 1)(n + 2) = (n + 1)(2(n + 1) + 1)(n + 2) / 6

Luego hemos probado que∀n ∈ Ν : ρ(n) ⇒ ρ(n + 1) es verdadera.