Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea un mínimo ?
Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea un mínimo .
En resumen
Hola! Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea un mínimo. Plantemos con variables los que nos piden : 1. <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-x%3D100" /> 2. <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20P%3Dx%2Ay" />, sea un mínimo.
Mejor respuesta
Hola!
Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea un mínimo.
Plantemos con variables los que nos piden :
1.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-x%3D100" />
2.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20P%3Dx%2Ay" />, sea un mínimo.
Lo que debemos hacer es despejar x de la ecuación 1.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx%2B100" />, esta la sustituimos es 2.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%3Dx%2A%28x%2B100%29%3D%20%20x%5E%7B2%7D%20%2B100x" />.
Para tener un mínimo la ecuación se deriva una vez y se iguala a cero, despejando la variable x, donde este es un mínimo :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%27%3D%202x%2B100" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2x%2B100%3D0" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-100%2F2%3D%20-50" />, luego este valor lo sustituimos en la primera función 1.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D-50%2B100%3D50" />.
Tenemos nuestros dos números que satisfacen las condiciones :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-50" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D50" />
[img = 10]
[img = 11].
Espero haberte ayudado!
Otras 1 respuestas
Respuesta 2
Hola!
Para hallar la respuesta a este problema de optimización debemos llevar a cabo una aplicación de las derivadas de la siguiente forma :
Decimos que el primer número es X y el segundo número es Y, pero con base en lo planteado en el enunciado.
X - Y = 100
y por lo tanto Y = X - 100
Además sabemos que el producto de ambos números es un mínimo, por lo tanto p = XY
p = X(X - 100)
p = X² - 100X
Esta función cuadrática denota la gráfica de una parábola orientada hacia arriba, ya que "a" es un número positivo, por ende, para hallar el mínimo de esa función derivaremos el producto de los números y diremos que :
P = X² - 100X
P' = 2X - 100
De este resultado despejaremos X para hallar su valor :
2X = 100
X = 50
Y con el valor de X podemos decir que :
Y = (50) - 100
Y = - 50
R : Los números buscados son el 50 y el - 50.
Saludos!
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