Encuentra las ecuaciones ordinaria y general de cada circunferencia1?

Encuentra las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia que es tangente a la recta r : 3x + 4y - 7 = 0 en el punto A( - 3, 4) y su radio 5.

Hola!

R Tangente a C ⇒ Radio ⊥ r en el punto A( - 3 ; 4)

Distancia de un punto a una recta : d(O ; r) = ║(Ax₁ + By₁ + C) / √A² + B²║Centro de la Circunferencia : O(h ; k)Recta Tangente en A( - 3 ; 4) r : 3x + 4y - 7 = 0 A = 3 ; B = 4 ; C = - 7 ; x₁ = h ; y₁ = k d(O ; r) = R = 5

d(O ; r) = ║(3h + 4k - 7) / √3² + 4²║5 = ║(3h + 4k - 7) / √25║5 = (3h + 4k - 7) / 55×5 = 3h + 4h - 725 + 7 = 3h + 4k32 = 3h + 4k32 - 4k = 3h ⇒ h = (32 - 4k) / 3 Ecuación ( I )

Distancia entre 2 puntos : A( - 3 ; 4) O(h ; k) R = 5d(OA) = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² R = d(OA) = √(x₂ - h)² + (y₂ - k)²5 = √( - 3 - h)² + (4 - k)² Resuelvo los productos notables ⇒5 = √9 + 6h + h² + 16 - 8k + k² Elevo ambos miembro al² para eliminar raíz5² = (√9 + 6h + h² + 16 - 8k + k²)²25 = 9 + 6h + h² + 16 - 8k + k²25 = h² + k² + 6h - 8k + 25h² + k² + 6h - 8k = 0 Ecuación ( II )

Tenemos : ( I ) h = (32 - 4k) / 3 ( II ) h² + k² + 6h - 8k = 0 Sustituyo ( I ) en ( II ) ⇒ [(32 - 4k) / 3]² + k² + 6(32 - 4k) / 3 - 8k = 0(1024 - 256k + 16k²) / 9 + k² + 2(32 - 4k) - 8k = 0(1024 - 256k + 16k²) / 9 + k² + 64 - 8k - 8k = 0(1024 - 256k + 16k² + 9k² + 576 - 72k - 72k) / 9 = 025k² - 400k + 1600 = 0×925k² - 400k + 1600 = 0 divido entre 25 para reducir ⇒k² - 16k + 64 = 0 Resuelvo por formula general ⇒k = (16 ±√16² - 4×1×64) / 2×1k = (16 ±√256 - 256) / 2k = (16 ±√0) / 2k = (16 ± 0) / 2k = 16 / 2k = 8( I ) h = (32 - 4k) / 3 sustituyo ⇒h = (32 - 4×8) / 3h = (32 - 32) / 3h = 0 / 3h = 0 ⇒Coordenadas del centro de la Circunferencia O(0 ; 8)

Ecuación Ordinaria de Circunferencia : C : (x - h)² + (y - k)² = R²C : (x - 0)² + (y - 8)² = 5² Ecuación Ordinaria

Para hallar la ecuación General desarrollo los productos notables : C : (x - 0)² + (y - 8)² = 5² C : x² + y² - 16y + 64 = 25C : x² + y² - 16y + 64 - 25 = 0C : x² + y² - 16y + 39 = 0 Ecuación GeneralRealizo el esquema grafico y verificamos (ver archivo adjunto)

Saludos!