Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto (7, 5) y es tangente a la circunferencia x ^ 2 + y ^ 2 + 4x + 16y - 22 = 0?

Si ya sabes la definción de derivada, sabrás que la derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto.

Entonces tenemos la función,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%2B%20y%5E%7B2%7D%2B4x%2B16y-22%3D0%20" />

Entonces debemos hallar la derivada de equis respecto de ye, para eso hacemos una derivación implícita, o que es lo mismo que separar todo lo que tenga equis de un lado y todo lo tenga ye del otro lado así,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D%20%2B4x%3D%2B22%20%2B%20y%5E%7B2%7D%2B16y" />

y derivamos a cada lado como de costumbre así,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%282x%2B4%29dx%3D%280%2B2y%2B16%29dy%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D%20%5Cfrac%7B2y%2B16%7D%7B2x%2B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%2B8%7D%7Bx%2B2%7D%20%20" />

como mencionamos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%20%3Dm%3Dpendiente" />

pero además ya nos dan un punto

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%287%2C5%29%3D%28x.y%29" />

entonces, reemplazamos éstos punto en la derivada que obtuvimos así,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%20%3Dm%3D%20%5Cfrac%7By%2B8%7D%7Bx%2B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%285%29%2B8%7D%7B%287%29%2B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B13%7D%7B9%7D%20" />

ya obtuvimos la pendiente, ahora solo basta armar la ecuación de la recta, tenemos una pendiente tenemos un punto entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-%20y_%7B1%7D%20%3Dm%28x-%20x_%7B1%7D%20%29%20%5C%5C%20y-5%3D%20%5Cfrac%7B13%7D%7B9%7D%20%28x-7%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%209y-45%3D13x-91%20%5C%5C%2013x-9y-46%3D0" />

y esa sería la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto especificado.

Y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.