En una progresión aritmética?

Se usa la fórmula de interpolación de términos.

Dice esto :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%20%5Cdfrac%7Bb-a%7D%7Bm%2B1%7D%20" />

Si nos dan el 4º y el 9º término, entre ellos hay 4 términos a interpolar y este dato sería "m"

El término a₄ es "a"

El término a₉ es "b"

La diferencia entre términos es "d"

Sustituyo datos y sale esto :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%20%5Cdfrac%7B16-6%7D%7B4%2B1%7D%3D2" /> (respuesta a la 1ª pregunta)

Ahora nos pide el primer término a₁ el cual podemos despejar de la fórmula del término general apoyándonos en otro término conocido, por ejemplo, a₄

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_4%20%3D%206%3Da_1%2B%284-1%29%2A2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_1%3D6-6%20%3D%200" />

Sabemos el primer término que es = 0 (respuesta a la 2ª pregunta)

Con eso se acude de nuevo a la fórmula del término general, en este caso para conocer el término n - ésimo, es decir, el valor de cualquier término de la progresión según el lugar que ocupe en ella, es decir, según el valor de "n".

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D0%2B%28n-1%29%2A2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D2n-2%20%3D%20t%5C%27ermino%5C%20general" />

(respuesta a la 3ª pregunta)

Como nos pide la suma de los 45 primeros términos, primero obtenemos el valor del término nº 45 con esa fórmula hallada :

a₄₅ = 2·45 - 2 = 90 - 2 = 88

Finalmente vamos a la fórmula de suma de términos para obtener la respuesta a la última pregunta :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cdfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20S_%7B45%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%280%2B88%29%2A45%7D%7B2%7D%20%3D1980" />

Saludos.