Para resolver esta pregunta, al área de la semicircunferencia, que contiene la porción sombreada, incógnita de esteproblema, se le deberá restar el área del sector circular, que pertenece a un segmento circular que es la 1 / 4 parte de un círculocon centro en el vértice del triángulo con ángulo de 90°.
Área de la Semicircunferencia
Para calcular el área de la semicircunferencia, de diámetro D = 32 m, y que la identificaremos como A1, se determina a partir del área de la circunferenciay se divide entre 2 :
A1 = (π.
R ^ 2) / 2, donde R = Radio de la Circunferencia
R = D / 2 = 32 / 2 = 16
Entonces A1 = (π.
(16) ^ 2) / 2 = 128π ;
A1 = 128π
Calculando el área del Segmento Circular
Como se observa en la gráfica y como ya explicamos, si al Sector Circular le restamos el Área del Triángulo, obtendremos el área del Segmento Circular.
Como se menciona en el enunciado, el Sector Circular es 1 / 4 de un circunferencia, de radio con centro en el vértice del ángulo de 90°.
Es decir, que su área es :
Asc : Área del Segmento Circular
Asc = (π.
R ^ 2) / 4, donde tendremos que calcular el radio r.
El radio r, forma parte de un triángulo rectángulo isósceles, con catetos r y una hipotenusa de 32 m.
Aplicando el Teorema de Pitágoras, (32) ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2 = 2r ^ 2
de donde se determina que :
r = 32 / √2 m
Podemos ahoracalcular el área del Segmento Circular, Asc :
Asc = π.
(32 / √2) ^ 2 / 4 = 128π
Asc = 128π m2
El área del triángulo que forma parte del sector circular es :
At = b.
H / 2, donde b = h = r, así
At = (32 / √2)(32 / √2) / 2 = 32 ^ 2 / 4 = 256 m2
Cálculo del área delSector Circular
Como ya se explicó, el área del Sector Circular, que llamaremos Ascc, viene dado por la resta de las áreas del Segmento Circular, Asc, menos el área del Triángulo Isósceles, At.
Entonces tenemos :
Ascc = Asc - At, A2 = 128π - 256 = 401, 92 - 256 = 145, 92
Ascc = 145, 92 m2
De esta maneraya podemos proceder a calcular el Área Sombreada, As, pues como ya se explicó, ésta vendrá dada por la resta del Área de la Semicircunferencia menos el Área del Segmento Circular, Ascc.
De esta manera :
As = A1 - Ascc, As = 128π - 145, 92 = 401, 92 - 145, 92 = 256, 00 m2
Respuesta : As = 256, 00 m2
Espero que haya sido clara esta explicación de la respuesta a tu pregunta.