<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2A%20r%5E%7Bn-1%7D%20" />
Lo que hago aquí es basarme en la fórmula para calcular el término general de una progresión geométrica que al fin y al cabo es lo que tenemos en este experimento.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da%2A%203%5E%7B%20%5B%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B3%7D%29-1%5D%20%7D%20" />
donde "t" es el tiempo expresado en horas.
Desarrollando esa expresión.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da%2A%203%5E%7B%20%5B%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B3%7D%29-1%5D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7Ba%2A%203%5E%7B%20%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B3%7D%29%20%7D%20%7D%7B3%7D%3D%20%5Cfrac%7Ba%2A%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%203%5E%7Bt%7D%20%7D%20%7D%7B3%7D%20" />
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Si a este resultado genérico damos valores múltiplos de 3 a "t" (ya que se triplica cada 3 horas) obtendremos siempre la cantidad de bacterias en un período de tiempo determinado por esas horas.
Atendiendo a ello, para responder a la primera pregunta del tamaño después de 12 horas, sustituyo ese valor en "t" y tengo :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba%2A%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%203%5E%7B12%7D%20%7D%20%7D%7B3%7D%3D%20%5Cfrac%7Ba%2A3%5E4%7D%7B3%7D%3Da%2A3%5E3%3D27a%20" />
.
Lo que me dice que el tamaño después de ese tiempo será 27 veces mayor que el tamaño original.
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La respuesta a la 2ª cuestión ya está solucionada puesto que es la propia fórmula conseguida :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba%2A%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%203%5E%7Bt%7D%20%7D%20%7D%7B3%7D" />
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Para la última cuestión sería lo mismo, sustituir "t" por 48 y quedaría :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba%2A%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%203%5E%7B48%7D%20%7D%20%7D%7B3%7D%3D%20%5Cfrac%7Ba%2A%203%5E%7B16%7D%20%7D%7B3%7D%20%3D%20a%2A3%5E%7B15%7D%20" />
Saludos.