El número de hormigas voladoras A(r) en ciento de miles, depende del nivel de lluvia en centimetros, dado por A(r) = 8 - r2a) halle el nivel de lluvia que maximiza la poblacion de hormigas?

Tenemos un máximo si :

A y A' son derivables en r, r es un máximo relativo o local si se cumple :

1.

A'(r) = 0

2.

A''(r) < 0

Calculamos la derivada de la función A(r) = 8 - r ^ 2 :

A'(r) = - 2r, ahora calculamos el punto crítico igualando la función a cero :

A'(r) = - 2r = 0 entonces r = 0

Obtenemos la 2ª derivada, calculamos el signo que toman en ella el punto crítico de la primera derivada y si A''(r) < 0 Entonces tenemos un máximo.

Calculemos la segunda derivada y evaluemos en ella el punto crítico r = 0 :

A''(r) = - 2 como A''(r) = - 2 < 0 Entonces tenemos el máximo de la función A(r) = 8 - r ^ 2 cuando r = 0 A(r) = A(0) = 8 - (0) ^ 2 = 8, A(r) = 8

Entonces el punto del nivel de lluvia que maximiza la población de hormigas esta en el punto :

(0, 8).