El área del triángulo sombreado es raiz de 5 Cuál es el área del triángulo ABC?

Respuesta : 4.

46 u²

Luego de observar la figura, veamos que en su totalidad está compuesta por tres : una media circunferencia, un triángulo equilátero y otro triángulo no rectángulo.

Del área del triángulo equilátero hallaremos la longitud del lado "a" :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20At%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B4%7D%20%20a%5E%7B2%7D%20%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B4%7D%20%20a%5E%7B2%7D%20%20%20" />

4√5 = √3 · a²

a² = (4√5) / √3

a² = 5.

16

a = √5.

16

a = 2.

27

Ahora bien, observa que la figura está encerrada en una media circuferencia, de centro O.

La distancia de A a O, es el radio, igual la lado a = 2.

27 ; por lo tanto la distancia de O a B es igual a.

Entonces la distancia de A a B es : 2 · 2.

27 = 4.

54. Nos falta hallar el lado "h", lo cual lo haremos por la Ley del Coseno.

* Nota : El ángulo empleado será de 60°, ya que para un triángulo equilátero sus ángulos internos son 60° cada uno.

H² = a² + b² - 2a·b · cos60

h² = 2.

27² + 4.

54² - 2 · 2.

27 · 4.

54 · cos60

h² = 25.

76 - 10.

31

h² = 15.

45

h = √15.

45

h = 3.

93

FINALMENTE EL ÁREA DEL TRIÁNGULO ABC ES (POR FÓRMULA DE HERÓN) :

A = √{s · (s - a) · (s - b) · (s - c)]

a, b y c son los tres lados del triángulo.

Donde s es igual a :

s = (a + b + c) / 2

s = (2.

27 + 4.

54 + 3.

93) / 2

s = 5.

37

Entonces :

A = √{5.

37 · (5.

37 - 2.

27) · (5.

37 - 4.

54) · (5.

37 - 3.

93)]

A = √19.

90

A = 4.

46 u².