Ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas, paso a paso , por favor gracias2 / 5 y ^ (´´) - 4y ^ ´ + 10y = 0 ; si y(0) = 1, y(1) = 0?

Pasando en limpio la ecuación diferencial homogénea de orden superior a coeficientes constantes planteada queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7Dy%27%27-4y%27%2B10y%3D0" /> (1)En lo que sigue demostraremos que la solución a la ecuación diferencial solicitada es esta : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7B5x%7D-xe%5E%7B5x%7D" />Pero yendo paso a paso : Se empieza proponiendo una solución del tipo : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7B%5Calpha.x%7D" /> (2)Donde <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha" /> puede ser un número real o complejo que en lo que sigue hallaremos, en una ecuación diferencial de orden superior homogénea la solución general es una combinación lineal de exponenciales de ese tipo.

Pero sigamos.

Reemplazamos la ecuación (2) en la (1), hallando las derivadas correspondientes : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%5Calpha%5E2e%5E%7B%5Calpha.x%7D-4%5Calpha.e%5E%7B%5Calpha.x%7D%2B10e%5E%7B%5Calpha.x%7D%3D0" />Divido por <img src="https://tex.z-dn.net/?f=e%5E%7B%5Calpha.x%7D" /> en ambos miembros para hallar la ecuación auxiliar : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%5Calpha%5E2-4%5Calpha%2B10%3D0" />Resuelvo la ecuación cuadrática para hallar <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha" /> : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha_%7B1%2C2%7D%3D%5Cfrac%7B4%5C%C2%B1%5Csqrt%7B4%5E2-4.%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D.10%20%7D%20%7D%7B2.%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7B4%5C%C2%B1%5Csqrt%7B0%20%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%7D%5C%5C%5Calpha_%7B1%2C2%7D%3D5" />Tenemos una raíz doble en 5, esto significa que la solución será de tipo : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3DC_1e%5E%7B5x%7D%2BC_2xe%5E%7B5x%7D%2C%20C_1%5Cepsilon%20R%3B%20C_2%5Cepsilon%20R" />Al ser la única raíz hallada la solución general es : [img = 10]Esto es una familia de curvas donde c1 y c2 pueden tomar cualquier valor real, nos dan valores en x = 0 y x = 1 que nos permiten individualizar una de esas curvas[img = 11]Entonces la función buscada es : [img = 12].