Dos astas de banderas se levantan verticalmente sobre un plano horizontal.
A y B son dos puntos sobre la recta que une los pies de las astas y están entre ellos los ángulos de elevación de los extremos superiores de las astas vistos desde A son 30º y 60º y vistos desde B son de 60º y 45º.
Si la longitud de AB es de 9 metros ; Hallar las longitudes de las astas y la distancia que las separa.
Hola!
Lo primero que realizamos es un esquema gráfico de la situación planteada.
Comenzamos por un lado relacionando Triángulos formados desde A y luego Triángulos formados desde B : En Δ ABC : Tang30º = Cateto Opuesto / Cateto AdyacenteTang30º = H₁ / X₁ ⇒ H₁ = Tang30º × X₁ ( i )
En Δ BCD : Tang 60º = H₁ / (9 + X₁) ⇒ H₁ = Tang60º × (9 + X₁) ( ii )
Igualamos ambas ecuaciones ( i ) = ( ii ) : Tang30º × X₁ = Tang60º × (9 + X₁)Tang30º × X₁ = 9×Tang60º + Tang60º × X₁Tang30º × X₁ - Tang60º × X₁ = 9×Tang60ºX₁ = (Tang30º - Tang60º) = 9×Tang60ºX₁ = 9×Tang60º / (Tang30º - Tang60º)X₁ = 13.
5 m Distancia desde el punto A al Asta CD
Sabemos que : H₁ = Tan30º × X₁H₁ = Tan30º × 13.
5H₁ = 7.
8 m Altura del Asta CDEn Δ BFE : Tang 60º = H₂ / X₂ ⇒ H₂ = Tang60º × X₂ ( iii )
En Δ AEF : Tang45º = H₂ / (9 + X₂) ⇒ H₂ = Tang45º × (9 + X₂) ( iv )Igualamos ambas ecuaciones ( iii ) = ( iv ) :
Tang60º × X₂ = Tang45º × (9 + X₂) Tang45º = 1Tang60º × X₂ = 1 × (9 + X₂) Tang60º × X₂ = 9 + X₂Tang60º × X₂ - X₂ = 9X₂ × (Tang60º - 1 ) = 9X₂ = 9 / (Tang60º - 1)X₂ = 12.
3 m Distancia desde el punto B al Asta EF Sabemos que : H₂ = Tang60º × X₂H₂ = Tang60º × 12.
3H₂ = 21.
3 m Altura del Asta EF Distancia entre las Astas : X = X₁ + 9 + X₂ X = 13.
5 m + 9 m + 12.
3 mX = 34.
8 m Distancia entre AstasDejo un archivo adjunto con el esquema gráfico!
Saludos!
