Determine los valores de m tal que la ecuación cuadrática no tenga solución en R :x ^ 2 + 2(m - 1)x + m ^ 2 = 0?

Para que cualquier ecuación de 2º grado no tenga solución dentro de los números reales ha de ocurrir que el discriminante sea menor que cero, es decir, el radicando, lo que está dentro de la raíz ya que entraríamos en el campo de los números complejos.

No existe ningún número real para una raíz con radicando negativo.

Si acudimos a la fórmula general :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x_%7B1%7D%2C%20x_%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-b%28%2B-%29%20%5Csqrt%7B%20b%5E%7B2%7D%0A-4ac%7D%20%7D%7B2a%7D%20" />

El discriminante es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%5E%7B2%7D%20-4ac%7D" /> .

Donde.

A = 1

b = 2·(m - 1)

c = m²

Y tiene que ocurrir esto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%5E%7B2%7D%20-4ac%7D%5C%20%5Ctextless%20%5C%200" />

sustituyo esos términos en la fórmula y tengo.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5B2%2A%28m-1%29%5E2%20-%204%2A1%2Am%5E2%5D%3C0" /> .

Desarrollando esto.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%2A%28m-1%29%5E2%20-%204%2A1%2Am%5E2%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204%2A%28m%5E2%2B1-2m%29-4m%5E2%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204m%5E2-8m%2B4-4m%5E2%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20-8m%2B4%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204%5C%20%5Ctextless%20%5C%208m%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20m%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B8%7D%20%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20" />

Lo que significa que "m" debe tomar valores mayores a 1 / 2 para que se cumpla la condición exigida.

En cualquier caso te pediría que revisaras ycontrastaras el final ya que no estoy muy puesto en inecuaciones aunque creo que funcionan de manera similar a las ecuaciones normales.

Saludos.