Determina las coordenadas de un punto que equidiste de los puntos A(1, 2), B(3, 1) y C( - 3, - 1)?

El punto P(x, y) es el que buscamos

Las distancias de P a A, de P a B y de P a C son las mismas

Calculamos la distancia de P a A

d(P, A) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

d(P, A) = √[(x - 1)² + (y - 2)²]

Calculamos la distancia de P a B

d(P, B) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

d(P, B) = √[(x - 3)² + (y - 1)²]

Calculamos la distancia de P a C

d(P, C) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

d(P, C) = √[(x - ( - 3))² + (y - ( - 1))²]

d(P, C) = √[(x + 3)² + (y + 1)²]

Ahora igualamos d(P, A) = d(P, B) y d(P, B) = d(P, C) para poder despejar las variables x e y

d(P, A) = d(P, B)

√[(x - 1)² + (y - 2)²] = √[(x - 3)² + (y - 1)²]

(x - 1)² + (y - 2)² = (x - 3)² + (y - 1)²

x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = x² - 6x + 9 + y² - 2y + 1

4x - 2y = 5

d(P, B) = d(P, C)

√[(x - 3)² + (y - 1)²] = √[(x + 3)² + (y + 1)²]

(x - 3)² + (y - 1)² = (x + 3)² + (y + 1)²

x² - 6x + 9 + y² - 2y + 1 = x² + 6x + 9 + y² + 2y + 1

12x + 4y = 0

4(3x + y) = 0

3x + y = 0

Se nos forma un sistema de ecuaciones :

I)4x - 2y = 5 ∧ II)3x + y = 0

I + 2(II)

4x - 2y = 56x + 2y = 0⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻10x = 5

x = 5 / 10

x = 1 / 2 - - > El valor de x

Usamos la 1ra o 2da ecuacion para hallar y

I)4x - 2y = 5 4(1 / 2) - 2y = 5 2 - 2y = 5 - 2y = 3 y = - 3 / 2 - - - - > valor de y

Entonces ya encontramos los valores de la coordenada que buscabamos

P(x, y) = P(1 / 2, - 3 / 2)

Espero te sea de utilidad, mucho gusto y hasta pronto

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