Demostrar que : x2 + 5y2 + 5x + 25y = 100 es la ecuación de una elipse y determine : a. Centro b. Focos c. Vértices en la imagen adjunto el problema para mejor comprension. Gracias.
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En resumen
X² + 5Y² + 5X + 25Y = 100 Completamos cuadrados para X X² + 5X + 6. 25 - 6. 25 = (X² + 5X + 6. 25) - 6. 25 = (X + 2. 5)² - 6. 25 Completamos cuadrados para Y 5Y² + 25Y = 5[Y² + 5Y + 6. 25 - 6. 25] = 5(Y + 2. 5)² - 31. 25 (X + 2. 5)² + 5(Y + 2. 5)² - 31. 25 - 6.
X² + 5Y² + 5X + 25Y = 100
Completamos cuadrados para X
X² + 5X + 6.
25 - 6.
25 = (X² + 5X + 6.
25) - 6.
25 = (X + 2.
5)² - 6.
25
Completamos cuadrados para Y
5Y² + 25Y = 5[Y² + 5Y + 6.
25 - 6.
25] = 5(Y + 2.
5)² - 31.
25
(X + 2.
5)² + 5(Y + 2.
5)² - 31.
25 - 6.
25 = 100
(X + 2.
5)² + 5(Y + 2.
5)² - 37.
5 = 100
(X + 2.
5)² + 5(Y + 2.
5)² = 137.
5 : Divido toda la expresion entre 137.
5
[(X + 2.
5)² / 137.
5] + [5(Y + 2.
5)² / 137.
5] = 1
[(X + 2.
5)² / 137.
5] + [(Y + 2.
5)² / 27.
5] = 1
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cleft%28x-h%5Cright%29%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%28y-k%5Cright%29%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1" /> - h = 2.
5 ; h = - 2.
5 ; - k = 2.
5 ; k = 2.
5
Centro ( - 2.
5 , - 2.
5)
a² = 137.
5 , b² = 27.
5,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%20%5Csqrt%7B137.5%7D%3D11.726%20" /> ; <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%3D%20%5Csqrt%7B27.5%7D%3D5.244" />
Vertices : [( - 11.
762 - 2.
5) , - 2.
5] y [( + 11.
762 - 2.
5) , - 2.
5]
Vertices : [ - 14.
262 , - 2.
5] y [9.
262 , - 2.
5]
Focos tenemos que hallar c
c² = a² - b² = 137.
5 - 27.
5 = 110
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=c%3D%20%5Csqrt%7B110%7D%3D10.488%20" />
Focos : [( - 10.
488 - 2.
5) , - 2.
5] y [( + 10.
488 - 2.
5) , - 2.
5] [ - 12.
988 , - 2.
5] y [7.
988 , - 2.
5]
Centro en ( - 2.
5 , - 2.
5)
Semieje mayor = a = 11.
726
Semieje menor = b = 5.
244
Vertices : [ - 14.
262 , - 2.
5] y [9.
262 , - 2.
5]
Focos : [ - 12.
988 , - 2.
5] y [7.
988 , - 2.
5]
Te anexo una grafica de la elipse.
X² + 5Y² + 5X + 25Y = 100 Completamos cuadrados para X X² + 5X + 6. 25 - 6. 25 = (X² + 5X + 6. 25) - 6. 25 = (X + 2. 5)² - 6. 25 Completamos cuadrados para Y 5Y² + 25Y = 5[Y² + 5Y + 6. 25 - 6.
La ecuación de la elipse : 10x ^ 2 + 4y ^ 2 + 2x + 16y = 144 10 [x ^ 2 + (1 / 5)x ] + 4(y ^ 2 + 4y) = 144 10 [ x ^ 2 + (1 / 5)x + (1 / 100) ] + 4 (y ^ 2 + 4y + 4) = 144 + 16 + 1 / 10 10 (x + 1 / 10) ^ 2 + 4 (y + 2) ^ 2…
La ecuación de una elipse viene dada de la siguiente manera : Donde : Centro = (h, k) Vertices : V1(h, k - a) v2(h, k + a) sea c = a - b Focos : F1(h, k - c) F2(h, k + c) Transformemos la ecuación que tenemos a una…
En Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, B² — 4AC se le denomina la discriminante y se cumple con ellas que - Si B²—4AC = 0 , la ecuación describe una parábola - Si B²—4AC 0, la ecuación describe una hipérbola. Sustituimos…
X² + 5Y² + 5X + 25Y = 100 Completamos cuadrados X² + 5X = X² + 5X + (2. 5)² - (2. 5)² (X² + 5X + 6. 25) - 6. 25 (X + 2. 5)² - 6. 25 Para Y 5Y² + 25Y = 5(Y² + 5Y) 5[(Y² + 5Y + (2. 5)² - (2. 5)²] 5(Y² + 5Y + 6. 25) - 31.…
Tenemos como cónica una elipsesi se presentan en la ecuación dos variables cuadráticas de diferente coeficiente y sumándose, siguiendo la forma : Tenemos la ecuación : 4x² + 9y² - 16x + 18y - 11 = 0 Agrupamos las x :…