Demostrar que : 4x ^ 2 + 9y ^ 2 - 16x + 18y - 11 = 0 es la ecuación de una elipse y determine :A?

La ecuación de una elipse viene dada de la siguiente manera :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%28x-h%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20b%5E%7B2%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%20%28y-k%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20a%5E%7B2%7D%7D%20%3D%201" />

Donde :

Centro = (h, k)

Vertices : V1(h, k - a) v2(h, k + a)

sea c = a - b

Focos : F1(h, k - c) F2(h, k + c)

Transformemos la ecuación que tenemos a una ecuacion con la forma inicial :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=4x%5E2%2B9y%5E2-16x%2B18y-11%3D0%20" /> - Despejando y agrupando

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%284x%5E2-16x%29%2B%289y%5E2%2B18y%29%3D11" /> - Sacando Factor común :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=4%2A%28x%5E2-4x%29%2B9%2A%28y%5E2%2B2y%29%3D11" /> - Completamos cuadrados :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=4%2A%28x%5E2-4x%2B2-2%29%2B9%2A%28y%5E2%2B2y%2B1-1%29%3D11" /> - Reagrupando usando propiedad distributiva y asociativa :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=4%2A%28x%5E2-4x%2B2%29-%284%2A2%29%2B9%2A%28y%5E2%2B2y%2B1%29-9%2A1%3D11" /> - Despejamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=4%2A%28x%5E2-4x%2B2%29%2B9%2A%28y%5E2%2B2y%2B1%29%3D11%2B8%2B9%20" /> - Agrupamos nuevamente de manera conveniente y usamos producto notable :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%28x-2%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B1%2F4%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%28y%2B1%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B1%2F9%7D%20%3D28" /> - Dividimos ambos lado entre 28

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20%28x-2%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B28%2F4%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%28y%2B1%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B28%2F9%7D%20%3D1" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20%28x-2%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B7%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%28y%2B1%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B28%2F9%7D%20%3D1" />

[img = 10]

Centro : C(2, - 1)

Vértices : V1(2, 1 - [img = 11]) V2(2, 1 + [img = 12])

Focos :

c = [img = 13]

Focos : F1(h, k - c) F2(h, k + c)

F1(2, 1 - [img = 14])

F2(2, 1 + [img = 15]).