Demostrar la siguiente identidad trigonométrica?

Tenemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Btan%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7B1%2Btan%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%7D%20%3Dsin%28x%29" />

cuidado con eliminar la raíz solo porque tenemos algo al cuadrado dentro.

Se puede pero, hay que tener cuidado.

Entonces, vamos a usar las siguiente razones trigonométricas :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=tan%28x%29%3D%20%5Cfrac%7Bsin%28x%29%7D%7Bcos%28x%29%7D%20" />

ésta también funciona si elevamos al cuadrado

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=tan%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D%20%5Cfrac%7Bsin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D" />

además vamos a usar una identidad que no es necesario te la aprendas porque puedes demostrarla.

Partimos desde la siguiente identidad

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sin%5E%7B2%7D%28x%29%2Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%3D1" />

Dividimos todo para<img src="https://tex.z-dn.net/?f=cos%5E%7B2%7D%28x%29" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bsin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20tan%5E%7B2%7D%28x%29%2B1%3Dsec%5E%7B2%7D%28x%29" />

listo, entonces como ves no es necesario aprenderse tantas fórmulas, solo saberlas demostrar.

A partir de cosas sencillas.

Como la identidad con la partimos.

Bueno.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Btan%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7B1%2Btan%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bsin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%20%20%7D%7Bsec%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%7D%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Bsin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsec%5E%7B2%7D%28x%29%7D%20%29%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Pero%3Asec%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Bsin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%7D%20%29%20%7D%3D%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Bsin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%28%20%20%5Cfrac%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7B1%7D%20%20%7D%3D%20%5Csqrt%7Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%3Dsin%28x%29" />

listo y eso es lo que queríamos demostrar.

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.