Dados los vértices de un triangulo (2, 1, - 3), (1, - 2, 5) y (3, - 1, 6) hallar las coordenadas del baricentro?

La coordenadas del baricentro es el punto de intersección entre las tres medianas del triángulo.

La mediana es la recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Dado que las tres concurren a un punto es necesario conocer dos de ellas.

Punto medio del lado opuesto al vértice (3, - 1, 6) ; (1)

[(2, 1, - 3) + (1, - 2, 5)] / 2 = (3 / 2, - 1 / 2, 1)

Punto medio del lado opuesto al vértice (2, 1, - 3) ; (2)

[(3, - 1, 6) + (1, - 2, 5)] = (2, - 3 / 2, 11 / 2)

Vector director de la mediana que pasa por (1)

r = (3, - 1, 6) - (3 / 2, - 1 / 2, 1) = (3 / 2, - 1 / 2, 5)

Vector director de la mediana que pasa por (2)

s = (2, 1, - 3) - (2, - 3 / 2, 11 / 2) = (0, 5 / 2, - 17 / 2)

Mediana del vértice (1)

OP = (3, - 1, 6) + (3 / 2, - 1 / 2, 5) u

Mediana por el vértice (2)

OQ = (2, 1, - 3) + (0, 5 / 2, - 17 / 2) v

u y v son los parámetros reales que determinan los infinitos puntos de las dos medianas.

Debemos hallar u y v de modo que OP sea igual a OQ

Igualamos por coordenadas :

x) 3 + 3 / 2 u = 2 + 0 v

y) - 1 - 1 / 2 u = 1 + 5 / 2 v

z) 6 + 5 u = - 3 - 17 / 2 v

Las tres ecuaciones deben formar un sistema compatible para u y v

De x) : u = - 2 / 3 ; reemplazamos en y : - 1 / 2 + 1 / 2 .

2 / 3 = 1 + 5 / 2 v ; v = - 2 / 3

Reemplazamos en z)

6 - 5 .

2 / 3 = - 3 + 17 / 2 .

2 / 3

8 / 3 = 8 / 3, por lo que el sistema es compatible

Finalmente con u = v = - 2 / 3 resultan :

x = 2, y = - 2 / 3, z = 8 / 3

El baricentro es el punto G(2, - 2 / 3, 8 / 3)

Saludos Herminio.