Tarea : ¿Cuántas claves de 4 letras de identificación de una estación de radio se puede informar si la primera letra puede ser K o W y las repeticiones : ?
A) no se repiten b) si se repiten Respuesta : a) 31.
200 clavesb) 39.
366 clavesExplicación paso a paso : Antes que nada hay que dejar claro con cuántas letras estamos contando y según la Real Academia Española, se admiten 27 letras en el alfabeto español, obviamente sin contar los dígrafos.
Pasando a los dos casos a calcular tenemos : a) Las letras no se repiten, así que vamos a dejar FIJADA en el primer lugar la letra K y combinaremos las tres restantes tomando como 26 letras como número total a combinar puesto que la K la hemos dejado en el primer lugar.
También hay que tener en cuenta que no será la misma clave si cambiamos las letras de orden, es decir por ejemplo : kbcd .
No será la misma clave que kadc ya que son las mismas letras pero cambiadas de orden.
Esto nos dice que SÍ importa el orden en que tomemos los elementos para distinguir entre una y otra clave.
Con todo eso claro estamos ante el modo combinatorio llamado VARIACIONES.
(si no importara el orden, serían combinaciones) y se trata de : VARIACIONES DE 26 (m) ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3 (n)Acudo a la fórmula por factoriales : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V_m%5En%3D%5Cdfrac%7Bm%21%7D%7B%28m-n%29%21%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20V_%7B26%7D%5E3%3D%5Cdfrac%7B26%21%7D%7B%2826-3%29%21%7D%3D%5Cdfrac%7B26%2A25%2A24%2A23%21%7D%7B23%21%7D%20%3D26%2A25%2A24%3D15600" />Ese resultado hay que duplicarlo porque no hay que olvidar que la primera letra podía ser K o W, por tanto, para el caso en que sea W tendríamos el mismo resultado ofreciendo un total de : 15600×2 = 31.
200 claves.
B) En este caso nos dice que las letras pueden repetirse y eso significa que aunque dejemos fijada la K en el primer lugar, las restantes tres letras a combinar también incluirán esa letra, lo cual implica que habrá que contar con las 27 letras del abecedario y por tanto tendremos el modo combinatorio de : VARIACIONES CON REPETICIÓN DE 27 ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3Su fórmula dice : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=VR_m%5En%3Dm%5En" />Sustituyo por su valor.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=VR_%7B27%7D%20%5E3%3D27%5E3%3D19683" />Igual que antes, hay que duplicar el resultado para contemplar el caso en que dejemos fijada la letra W y ofrece un total : 19683×2 = 39.
366 claves.
Saludos.