Cual es la base y dimension?

Base y Dimensión

Definición : Un conjunto de vectores {v1, v2, v3, …, vn} forma una base para V si :

{v1, v2, v3, …, vn} son linealmente independientes

{v1, v2, v3, …, vn} genera a V

Ejemplos (para discusión) :

1)

Seane1 = (1, 0)ye2 = (0, 1) vectores en R2.

Entonces forman una base para R2.

2)

Existe un teorema que señala que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rngenera a Rn.

Por tanto, todo conjunto denvectores linealmente independientes en Rnforma una base en Rn, En Rnse define : e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 0, 1).

A esta base se le llama labase “estándar”o“usual”de Rn.

3)

Los vectores (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 5) generan a R3y son linealmente independientes.

Luego forman una base para R3.

4)

Sean (0, 1) y (1, 1) elementos de R2.

Estos vectores son linealmente independientes y generan a R2.

Por tanto, forman una basa en R2.

5)

Los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0)noforman una base en R3.

Podemos encontrar a vectores en R3que no se pueden expresar como combinación lineal de estos dos.

Por ejemplo, el vector (0, 0, 1) elemento de R3no puede expresarse como combinación lineal de ellos dos :

(0, 0, 1) = a(1, 0, 0) + b (0, 1, 0) = (a, 0, 0) + (0, b, 0) = (a, b, 0) Lo cual implica que 1 = 0 y eso no es cierto.

6)

Los polinomios 1, x, x2, x3son linealmente independientes en P3.

Estos polinomios también generan l espacio vectorial P3.

Por tanto, {1, x, x2, x3} es una base para P3.

En general, {1, x, x2, x3, …, xn} constituye una base para Pn.

A esta base se le conoce como labase usual de Pn.

7)

El conjunto de matricesgeneran a M22.

Si tenemos que : vemos que

c1 = c2 = c3 = c4 = 0.

Por tanto, estas matrices son linealmente independientes.

Así que este conjunto de matrices forman labase usualpara M22.

Teorema : Si {v1, v2, v3, …, vn} es una base de V y si v є V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2, c3, c4, …, cntal que :

v = c1v1 + c2v2 + c3v3 + … + cnvn.

Teorema : Si {u1, u2, u3, …, um}y{v1, v2, v3, …, vn} forman bases para el espacio vectorial V, entonces m = n, esto es, cualquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores.

Ejemplo : Sea V = R2.

Notar que el conjunto de vectores {(1, 0), (0, 1)} y {(0, 1), (1, 1)} forman una base para R2y tienen el mismo número de vectores cada conjunto.

Definición : Ladimensiónde un espacio vectorial V es el número de vectores en la base de V.

Si este número es finito, entonces V es un espacio vectorial dedimensión finita.

De otra manera, V se llama el espacio vectorial dedimensióninfinita.

Si V = {0}, entonces V es dedimensión cero.

Notación : Representamos la dimensión de V pordimV.

Nota : Si tenemos k vectores en Rny k < n, entonces los vectores no generan a Rn.

Por el contrario, si k > n, entonces los k vectores son linealmente independientes.

Ejemplos :

1)

Como los n vectores linealmente independientes en Rngeneran a Rny forman una base en Rn, entonces dimRn = n.

A) dimR2 = 2 pues {(1, 0), (0, 1)} forman base en R2.

B) dimR3 = 3 pues {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forman base en R3.

C) dimR = 1, pues 1 es una base.

Nota : dim{0} = 0, pues {0} no tiene base, 0 no es linealmente independiente, no puede expresarse como combinación llineal.

2)

El conjunto de polinomios {1, x, x2, x3, …, xn} constituye una base para Pn.

Por tanto, dimPn = n + 1.

3)

En Mmn, sea Aijuna matriz m x n con 1 en la posición ij y cero en las demás posiciones.

Entonces, Aijpara i = 1, 2, 3, .

, myj = 1, 2, 3, …, nforman una base para Mmn.

YdimMmn = m∙n.

Ejemplo : dimM22 = 2∙2 = 4, pues el siguiente conjunto de matrices constituyen la base de M22 : .