Vectores en la matematicamodulo en el vectorsentido en el vectordirecdion en el vectororigen en el vectorextremo en el vetor?

En el conjunto de los vectores libres en el plano podemos definir varias operaciones :

Suma de vectoresDados dos vectores podemos calcular la suma gráficamente o analíticamente.

Gráficamente : Para sumar dos vectoresy, situamos el vectora continuación del vectorde manera que el extremo decoincida con el origen de.

La suma dees el vector cuyo inicio es el origen dey el extremo de.

Modifica los vectores moviendo los puntos y pulsa en "Sumar" para calcular su suma.

También existe otro método para calcular la suma gráficamente, que consiste en hacer coincidir ambos vectores con mismo origen O y, posteriormente, dibujar un paralelogramo cuyos lados serány.

El vector suma es la diagonal que parte desde el punto O.

Modifica los vectores moviendo los puntos y pulsa en "Sumar" para calcular su suma.

Analíticamente : Antes de ver la suma entre vectores de forma analítica es necesario conocer primero sus propiedades : Asociativa : Conmutativa : Elemento neutro : es el vector nuloyPara sumar analíticamente dos vectores lo hacemos componente a componente, es decir, sumamos por un lado las abscisas y por el otro las ordenadas.

Por tanto, sean los vectoresy, entonces.

Resta de vectoresPara restar vectores debemos definir primero el concepto devector opuesto.

Llamaremos vector opuesto aal vector, tal queEl vectortiene la misma magnitud y dirección quepero con sentido contrario.

Gráficamente : Para restar dos vectoresbasta con sumar al vectorel opuesto de, empleando el mismo procedimiento que en el primer método de la suma.

Modifica los vectores moviendo los puntos y pulsa en "Restar" para calcular su resta.

Empleando el método del paralelogramo, el vector resta es la diagonal que parte del extremo dey finaliza en el extremos de, formando un triángulo entre los dos vectores y su resta.

Modifica los vectores moviendo los puntos y pulsa en "Restar" para calcular su resta.

Analíticamente : Como la resta es la suma de un vector con el opuesto del otro, se calcula de la misma manera (componente a componente), teniendo en cuenta los signos.

Por tanto, sean los vectoresyentonces.

Multiplicación de un número real por un vectorA los números reales se les denomina escalares, por ello a esta operación también se le conoce como producto de un escalar por un vector.

Antes de ver como se calcula dicho producto, debemos conocer sus propiedades.

Seanyvectores, ynúmeros reales : Conmutativa : Distributiva : yAsociativa : Identidad : Nulo : El producto de un número realkpor un vectores otro vectorque tiene : La misma dirección que.

El módulo es igual al valor absoluto dekpor el módulo de, El mismo sentido desik > 0, o sentido opuesto en caso contrario.

Modifica el escalarky comprueba cómo le afecta al vectorv = ku.

También puedes variar el vectorucon la ayuda de sus puntos de origen y extremo.

Si el vector está dado en componentes, se puede resolver de la siguiente manera : seay el escalark, entonces.

Combinación lineal de vectoresSi combinamos las operaciones vistas con vectores (suma, resta y multiplicación por un número real) podemos escribir expresiones de la forma, dondeaybson números reales, yvectores.

Este tipo de expresión recibe el nombre de combinación lineal de vectoresPor tanto, dados dos vectoresy, y dos números realesayb, el vectores una combinación lineal deyEl caso particular del vector nuloes una combinación lineal de cualquier par de vectores.

Un vectorsiempre se puede expresar como combinación lineal de otros dos vectoresyno paralelos de la siguiente manera : Tomaremos representantes decon el mismo origen O.

Se trazan dos rectas que contengan ayDesde el extremo dese trazan dos rectas paralelas ay, intersecando las dos rectas del punto anterior.

Llamaremosal vector que comparte origen y dirección cony cuyo extremo se encuentra en la intersección.

Análogamente llamaremosal vector que comparte origen y dirección cony cuyo extremo se encuentra en la otra intersección.

Por tanto, , es decir, Modifica el parámetrok1yk2y observa como afecta al vectorwLa combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos númerosaybpara la igualdad.