Construyase el hexágono regular ABCDEF que tiene por lado 10cm y unase entre sí los vértices A, C, E el círculo y calculese el área de la parte de la superficie de la parte plano sombreada?

Fijamos algunos conceptos antes de resolver.

En un hexágono regular, el radio de la circunferencia circuscripta es igual a la longitud del radio.

Los angulos interiores son de 120°.

Busco la altura del triángulo ABC (para restarlo a la longitud del radio y sacar cuanto vale el radio de la circunferencia inscripta).

Al trazar la altura, quedan dos triángulos rectángulos con angulos de 30, 60 y obvio 90°.

Entonces :

h = 10 sen 30° = 10 .

1 / 2 = 5 por consiguiente, el radio de la circunferencia inscripta es 5 también.

Su área :

Ac = π.

R² = π 25 ≈ 78, 53

Luego calculamos el area del triángulo dentro del hexágono.

El lado AC del triángulo lo calculé como :

AC = 2 .

10 sen 30° = 20 √3 / 2 = 10 √3

La superficie, la calculamos por la fórmula de Herón de Alejandría :

At = √(s (s - a) (s - b) (s - c), con a, b y c los lados del triángulo, que como es equilátero son todos iguales a AC.

S es el semiperímetro : (a + b + c) / 2

s = 3 / 2 .

10√3 = 15√3

At = √ [15√3 (15√3 - 10√3) (15√3 - 10√3) (15√3 - 10√3)] = = √[15√3 (5√3)³ ] = √ [15.

125 √3 (√3)³] = √1875 .

9 ≈129, 9

Area rayada será igual a At - Ac ; Arayada = 129, 9 - 78, 53 = 51, 37.