Calcule el area de la region de un octogono regular inscrito en una circunferenciade radio 2?

Si trazamos al extremo de uno de los lados del octógono un radio y al otro extremo del mismo lado otro radio, seforma un triángulo isósceles.

El ángulo central de ese triángulo isósceles mide :

360÷ 8 = 45º

Por tanto cada uno de los otros dos ángulos iguales del triángulo miden :

(180 - 45) / 2 = 67, 5º

Ahora mediante el teorema del seno podemos hallar el lado desigual del triángulo isósceles, que pertenece a un lado del octógono regular :

L = lado del octógono y del triángulo isósceles.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bsen67%2C5%7D%3D%20%5Cfrac%7BL%7D%7Bsen45%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20L%3D%20%5Cfrac%7B2%2Asen45%7D%7Bsen67%2C5%7D%3D1%2C531" />

Ya sabemos lo que mide el lado del octógono regular, 1, 531.

Como el área de un polígono regular es igual al perímetro por la apotema partido por dos, vamos a averiguar cuanto mide la apotema ya que el perímetro lo tenemos ya cazado al conocer el lado.

Trazamos la altura del triángulo isósceles quecorresponde a la apotema del octógono regular.

Esta altura divide al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales, por tanto mediante Pitagoras vamos a hallar la altura :

A = altura del triángulo isósceles y apotema del octógono.

1, 531 / 2 = 0, 7655 mide un cateto.

2 = hipotenusa.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%20%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D-0%2C7655%5E%7B2%7D%7D%3D1%2C8477" />

Ya sabemos lo que mide la apotema del octógono regular, 1, 8477.

El perímetro del octógono es igual a :

1, 531×8 = 12, 248.

Por tanto el área del octógono es igual a :

S = superficie o área del octógono regular.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%20%5Cfrac%7B12%2C248%2A1%2C8477%7D%7B2%7D%3D11%2C3153148" />

El área del octógono inscrito en la circunferencia mide : 11, 3153148.