Calcular la longitud del contorno en y = 4 - (x ^ 2) y y = (x ^ 2) - 2x (Longitud de Arco en coordenadas carteseanas)?
Calcular la longitud del contorno en y = 4 - (x ^ 2) y y = (x ^ 2) - 2x (Longitud de Arco en coordenadas carteseanas).
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Veamos : la integral dearco tiene la siguiente expresión :
L = ∫√(1 + y ' ²) dx entre a y b
Debemos hallar a y b, extremos de los contornos
Igualamos : x² - 2 x = 4 - x² ; o bien 2 x² - 2 x - 4 = 0
Resolvemos : a = - 1, b = 2
Primera función : y ' = - 2 x
1 + y ' ² = 1 + 4 x²
La integral es un tanto compleja.
Usando tablas de integrales se obtiene
I = 1 / 4 [Ln √(1 + 4 x²) + 2 x] + 1 / 2 x √(1 + 4 x²)
Para los extremos del problema L1 = 6, 257
Segunda función : y ' = 2 x - 2
1 + y ' ² = 4 x² - 8 x + 5 ; la integral es :
I = 1 / 4 [ Ln√(4 x² - 8 x + 5) + 2 x - 2] + 1 / 2 (x - 1) √(4 x² - 8 x + 5)
Para los extremos del problema I2 = 6, 1257
En el gráfico adjunto se aprecia que los dos contornos son iguales.
El contorno vale entonces 2 .
6, 1254 = 12, 514
Saludos Herminio.
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