Calcula la primitiva de f(x) = x 2 cosx resuelto?

La primitiva de una función es la anti - derivada de esa función que te están dando.

∫ x²cos(x)

se integra por partes.

U = x²

du = 2xdx

dv = cos(x)dx

v = sen(x)

∫ udv = uv - ∫vdu

∫(x²cos(x)dx) = x²sen(x) - ∫(sen(x)2xdx

podemos sacar el 2 de la integral.

∫x²cos(x) = xsen(x) - 2∫(xsen(x)dx)

ahora por lo mientras vamos a guardar la parte de la integral que dice.

∫x²cos(x) = xsen(x) - 2

y nos vamos a concentrar en resolver esta parte ∫xsen(x)dx.

Se resuelve por partes.

U = x

du = dx

dv = sen(x)

v = - cos(x)

∫udv = uv - ∫vdu

∫xsen(x)dx = - xcos(x) - ∫( - cos(x)dx)

podemos sacar el signo negativo de la integral.

∫xsen(x)dx = - xcos(x) + ∫(cos(x)dx)

∫xsen(x)dx = - xcos(x) + senx.

Ahora ya podemos recuperar lo que habíamos guardado y sustituír la integral que acabamos de resolver.

∫(x²cos(x)dx) = x²sen(x) - 2∫(xsen(x)dx

pero

∫xsen(x)dx = - xcos(x) + senx.

Entonces sustituimos.

∫(x²cos(x)dx) = x²sen(x) - 2( - xcos(x) + senx)

ahora simplificamos y agregamos una constante de integración.

∫(x²cos(x)dx) = x²sen(x) + 2xcos(x) - 2sen(x) + c

podemos factorizar el sen(x) entonces lo hacemos.

∫(x²cos(x)dx) = sen(x)[(x² - 2)] + 2xcos(x) + c

como te piden primitiva deberían darte un punto para poder determinar el valor de la constante de integración, pero no nos lo dan así que se queda así.

Pero a fuerzas te debieron dar un punto.