Ayuda con integrales por sustitución trigonometrica?

Bueno primero al denominador que está con raíz le completare a que se haga adecuada para la formula que pondre adelante :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%2B10x%2B10" />

para que se haga un trinomio debería ser <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%2B10x%2B25" />

entonces lo que hago es sumar y restar 15 para que no se altere la funcion :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%2B10x%20%2B10%2B15-15%20" />

entonces agrupando queda :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28x%5E%7B2%7D%20%2B10x%20%2B25%29-15%20" />

sabiendo que la expresión <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%2B10x%2B25" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28x%2B5%29%5E%7B2%7D%20" />

entonces ya tenemos todo lo necesario :

queda la integral de dx sobre<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%28x%2B5%29%5E%7B2%7D%20-15%7D%20" />

ahora sí revisando hay una fórmula dice que la integral de dx sobre la raíz de u ^ 2 - a ^ 2 es igual a :

Ln I u + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7Bu%5E%7B2%7D-%20a%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%20" /> I + C

entonces de lo que nosotros encontramos sabemos que :

u = x + 5

a = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B15%7D%20" />

entonces reemplazando en la formula nos queda :

Ln I x + 5 + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%28x%2B5%29%5E%7B2%7D-%2015%20%7D%20" />I + C

o que da lo mismo que la respuesta que tienes :

Ln I x + 5 + [img = 10]I + C

SALUDOS!