Para hallar la ecuación de la recta tangente, primero necesitamos un punto y una pendiente, en este caso tenemos el punto (0, 5) y para hallar la pendiente que sea tangente a esa gráfica, debemos derivar
y = f(x) = 2x³ + 4x²−5x−3
Entonces, es una derivada sencilla
y' = f'(x) = 6x² + 8x - 5
Para hallar la pendiente en ese punto, reemplazamos el punto en la ecuación, recuerde que son las coordenadas (x, y), entonces solo reemplazamos la coordenada en x, que es 0 (El punto es (0, 5))
f'(0) = 6(0)² + 8(0) - 5 = - 5
Entonces la pendiente en ese punto es - 5
Utilizando la ecuación punto pendiente ( y - yo) = m(x - xo) ) encontramos la ecuación de la recta tangente
(y - 5) = - 5(x - 0)
y - 5 = - 5x
y = - 5x + 5 Esta es la ecuación de la recta tangente a la función en el punto (0, 5)
El segundo punto no entiendo muy bien, creo que esta mal escrito
Y el tercero es derivar
h(t) = ln(<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20e%5E%7Bt%7D%20" />−2)
Pues muy fácil, por regla de la cadena, hacemos
u(t) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20e%5E%7Bt%7D%20-2" />
u'(t) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20e%5E%7Bt%7D%20" />
Entonces convertimos h(t) en h(u(t))
Y h'(t) = h'(u(t)) * u'(t)
La derivada de Ln(x) es 1 / x
Entonces
la derivada sería
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20e%5E%7Bt%7D%20%7D%7B%20e%5E%7Bt%7D-2%20%7D%20" />.