Al derivar la función ( y = tan³ 4x ) el resultado es ?

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28y%29%20%3D%2012tan%5E2%284x%29%2Asec%5E2%284x%29" />Para poder derivar la función : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20tan%5E3%284x%29" />debemos hacer uso de la regla de la cadena, que establece : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28f%28g%28x%29%29%20%3D%20f%27%28g%28x%29%29%20%2A%20g%27%28x%29" />En este caso, hablamos de que debemos derivar funciones que en su argumento contienen más funciones ; para eso nos sirve dicha regla.

Iré realizando el procedimiento paso a paso ; derivemos la función respecto de x : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28y%29%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28tan%5E3%284x%29%29" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28tan%5E3%284x%29%29" />Un consejo para utilizar la regla de la cadena : debemos iniciar de las funciones más "externas" y terminar por las más internas.

Aplicando la definición de la regla de la cadena, primero iniciemos por la potencia de la función tan ^ 3(4x) : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%203tan%5E2%284x%29%2A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28tan%284x%29%29" />Lo que hicimos fue derivar primero a tan ^ 3(4x), tal como si derivásemos una función de la forma u ^ 3, solo que en este caso u = tan(4x).

Ahora, debemos obtener la derivada de "u" ; lo que estaba adentro de la potencia : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%203tan%5E2%284x%29%2A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28tan%284x%29%29" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%203tan%5E2%284x%29%2A%28sec%5E2%284x%29%2A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%284x%29%29" />Básicamente, derivamos a tan(4x) como si fuese una función de la forma tan(v), solamente que v = 4x.

Finalmente, tenemos que derivar a "v" : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%203tan%5E2%284x%29%2A%28sec%5E2%284x%29%2A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%284x%29%29" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%203tan%5E2%284x%29%2Asec%5E2%284x%29%284%29" />[img = 10]Así obtenemos el resultado final.

Espero que te sea de gran ayuda.

Si necesitas ayuda nuevamente con algún punto que no haya quedado claro, avísame.

Saludos.