Las Operaciones con números complejos propuesto tienen las siguiente solución Un número complejo es de la forma : a + ib La parte real de este número complejo es a y la parte imaginaria es b.
Operaciones con números complejosImportante i * i = - 1Suma de números complejos(a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)iRestas de números complejos(a + ib) - (c + di) = (a - c) + (b - d)iMultiplicación de números complejos(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)iDivisiones de números complejosPara simplificar la operación se procede de la siguiente forma : \ frac{a + bi}{c + di} = ( \ frac{a + bi}{c + di})( \ frac{c - di}{c - di}) = [ \ frac{(ac + db) + (bc - ad)i}{c ^ {2} + d ^ {2} }Se llama identidad de Euler a una fórmula desarrollada por Leonhard Euler.
La formula de Euler se define de la siguiente manera : re ^ {i \ alpha } = r(cos( \ alpha ) + isen( \ alpha ))Donde r es el radio y alpha el angulo barrido.
Resolviendo1.
) (1 + 4i) + ( - 2 – 2i)(1 + 4i) + ( - 2 – 2i) = - 1 - 2i2.
) 2(cos〖π / 3〗 – isen π / 3 ) + (3 – 4 i√3) Calculamos los cosenos y senoscos〖π / 3〗 = 1 / 2sen π / 3 = √3 / 22(cos〖π / 3〗 – isen π / 3 ) + (3 – 4 i√3) = 2(1 / 2 - i√3 / 2) + (3 – 4 i√3) = 1 - i√3 + 3 - 4 i√3 2(cos〖π / 3〗 – isen π / 3 ) + (3 – 4 i√3) = 4 - i5√33.
) Sean los números complejos z_1 = (1, - 1) y z_2 = ( - 3, 4).
Calcular el producto z_1 z_2 z_1 = (1 - i)z_2 = ( - 3 + 4i) z_1 * z_2 = (1 - i) * ( - 3 + 4i) = - 3 + 4i + 3i + 4 = 1 + 7i4.
) Empleando la notación de Euler resuelva el producto de estos dos números complejos : z_1 = 3(cos〖2π / 3〗 + isen 2π / 3 ) ; z_2 = 2 ( cos〖π / 6〗 + isen π / 6 )Se plantean la siguientes funciones (en este caso se corrige el ejercicio propuesto pues como se ve en la definición te falto el signo ( + ) : D) : Z_{1} = 3(cos( \ frac{2 \ pi }{3}) + isen( \ frac{2 \ pi }{3}))Z_{2} = 2(cos( \ frac{ \ pi }{6} + isen( \ frac{ \ pi }{6}))Ahora solo queda usar la formula de Euler antes de aplicar el producto.
Si nos fijamos en Z1 y la formula de Euler (segundo miembro) son similares, son que el radio de Z1 es r = 3 y \ alpha = \ frac{2 \ pi }{3}, entonces Z1 se puede escribir : Z_{1} = 3e ^ {i2 \ frac{ \ pi }{3} } y para Z2 el radio es r = 2 y \ alpha = \ frac{ \ pi }{6}, entonces se puede escribir : Z_{2} = 2e ^ {i \ frac{ \ pi }{6} }Solo queda aplicar Z1 * Z2(3e ^ {i2 \ frac{ \ pi }{3}}) * (2e ^ {i \ frac{ \ pi }{6} }) = 6e ^ {i( \ frac{2 \ pi }{3} + \ frac{ \ pi }{6} )}Recuerda : Las propiedades los exponente cuando tiene una multiplicación cuya base es igual se deja la misma base y se suma los exponentes.
Solo queda sumar la fracción y obtienes el resultado : Z_{1} * Z_{2} = 6e ^ {i( \ frac{5 \ pi }{6} )}5.
) Al calcular el cociente (1 + i) / (1 - i) \ frac{1 + i}{1 - i} = \ frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \ frac{1 + i + i - 1}{1 + i - i + 1} = \ frac{2i}{2} = i6.
) Calcular el cociente de la división indicada a continuación (3 - 2i) / (3 + 2i) \ frac{(3 - 2i)}{(3 + 2i)} = \ frac{(3 - 2i)(3 - 2i)}{(3 + 2i)(3 - 2i)} = \ frac{9 - 6i - 6i - 4}{9 - 6i + 6i + 1} = \ frac{5 - 12i}{10} \ frac{(3 - 2i)}{(3 + 2i)} = 1 / 2 - 12 / 10i.