4. Halle el área S de la superficie de revolución que se forma al girar la gráfica de sobre el intervalo cerrado [1, 4] alrededor del eje x. Tener en cuenta que : El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es :
Datos :
Sabemos que para calcular la superficie nos dispondremos a resolver la siguiente ecuación :
S = 2π ∫ f(x) √1 - (f'(x))² dx
Siendo :
f(x) = √x
y al derivar obtenemos que :
f'(x) = (√x)' = 1 / (2√x)
Al sustituir en la fórmula inicial tenemos que :
S = 2π ∫ f(x) √1 - (f'(x))² dx
S = 2π ∫ √x √1 - (1 / (2√x))² dx
S = 2π ∫ √x √(1 - 1 / (4x)) dx
Para conocer el valor de la superficie del área al poner en revolución la función
√x en un intervalo de 1 a 4, es necesario resolver la integral y evaluar la misma
en el intervalo de 1 a 3.
Resolviendo la integral y evaluando tenemos que :
S = 4, 90 cm².