309. ¿Cómo se determinan los elementos de una elipse, dada su ecuación general?

La ecuación general de la elpse es Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, donde A y B son diferentes de cero y con el mismo signo.

Nota que no depende de si el eje focal paralelo al eje x o al eje y.

Puedes conocer los elementos de la elipse de la siguiente forma :

1) Centro :

Coordenada x del centro : h = - D / (2A).

Coordenada y del centro : k = - E / (2C)

Centro : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28-%20%5Cfrac%7BD%7D%7B2A%7D%20%2C-%20%5Cfrac%7BE%7D%7B2C%7D%29%20" />

2) semieje mayor :

a² = B

⇒a = + / - √B

3) semieje menor :

b² = A

⇒ b = + / - √A

4) Ecuación canónica :

Con eso ya sabes la dirección del eje focal y puedes escribir la ecuación canónica.

Si B > A la elipse es paralela al eje x y la ecuación canónica

(x - h)² (y - k)² - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - = 1 a² b²

Si B < A la elipse es paralela al eje y y la ecuación canónica es :

(x - h)² (y - k)² - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - = 1 b² a²

5) c = √ (a² - b²)

Anora es más fácil encontrar los otros elementos a partir de la ecuación canónica, de a, b, c, h y k.

6) Focos

Si el eje focal es paralelo al eje x

F₁ = (h - c, k) ; F₂ = (h, k - c)

Si el eje focal es paralelo al eje y

F₁ = (h, k - c)

F₂ = (h, k + c)

7) Vértices

Si el eje focal es paralelo al eje x

V₁ = (h - a, k)

V₂ = (h + a, k)

Si el eje focal es paralelo al eje y

V₁ = (h, k - a)

V₂ = (h, k + a)

8) Longitud del lado mayor : 2a

9) Longitud del lado menor : 2b

10) Ecuación del eje focal :

Si el eje focal es paralelo al eje x : y = k.

Si el eje focal es paralelo al eje y : x = h

11) Puntos de corte con el eje normal :

Si el eje focal es paralelo al eje x :

B₁ = ( h , k - b)

B₂ = (h, k + b)

Si el eje focal es paralelo al eje y :

B₁ = (h - b, k)

B₂ = (h + b, k)

Te invito a ver otros ejemplos de elipses como este brainly.

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