3) Demostrar que los puntos D(2, - 2), E( - 8, 4), F(5, 3) son los vértices de un triángulo rectángulo
D(2, - 2), E( - 8, 4), F(5, 3) d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d(DE) = √( - 8 - 2)² + (4 + 2)² ⇒√( - 10)² + (6)²⇒√100 + 36⇒√136
d(EF) = √(5 + 8)² + (3 - 4)²⇒ √(13)² + ( - 1)²⇒√169 + 1⇒√170
d(DF) = √(5 - 2)² + (3 + 2)²⇒√(3)² + (5)²⇒√9 + 25 ⇒√34
Teorema de Pitagoras
a² + b² = c²
(√136)² + (√34)² = (√170)² 136 + 34 = 170 170 = 170
7.
- Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son los puntosD(0, 0), E(1, 2), F(3, - 4) ║║ = El valor absoluto ║0 0║ ║1 2║
A = 1 / 2 ║ 3 - 4║ + ( - 4) - (6) = ║ - 4 - 6║ = ║ - 10║ = 1 / 2(10) A = 5u² ║ 0 0║
11.
- Los vértices de un triángulo son los puntosA(2, - 2), B( - 1, 4), C(4, 5) Calcular la pendiente de cada uno de ellos.
Y₂ - y₁
m = - - - - - - - - - - - - x₂ - x₁
mab = 4 + 2 / - 1 - 2 = 6 / - 3 = - 2 mab = - 2
mbc = 5 - 4 / 4 + 1 = 1 / 5 mbc = 1 / 5
mca = - 2 - 5 / 2 - 4 = - 7 / - 2 = 7 / 2 mca = 7 / 2
15.
- Demostrar que los puntosD(1, 1), E(5, 3) y F(6, - 4), Son los vértices de un triángulo isósceles, y hallar uno de los ángulos iguales (será uno de los lados iguales)
d(DE) = √(5 - 1)² + (3 - 1)²⇒√(4)² + (2)²⇒√16 + 4⇒√20
d(EF) = √(6 - 5)² ( - 4 - 3)²⇒√(1)² + ( - 7)²⇒√1 + 49⇒√50
d(FD) = √(1 - 6)² + (1 + 4)² ⇒√( - 5)² + (5)²⇒√25 + 25⇒√50
Triángulo Isósceles : Dos lado iguales y uno desigual.
EF = FD
Para obtener el ángulo del vértice D, es necesario sacar sus pendientes de los lados DE y EF y determinar cual es m₁ y m₂
m(DE) = 3 - 1 / 5 - 1 = 2 / 4 = 1 / 2 mDE = 1 / 2
m(EF) = - 4 - 3 / 6 - 5 = - 7 / 1 = - 7 mEF = - 7 m₂ - m₁
Tangα = - - - - - - - - - - - - - - - - m₁m₂≠ - 1 1 + m₂· m₁
E m₁ = 1 / 2, m₂ = - 7 - 7 - 1 / 2 - 15 / 2 - 15 / 2 15
Tang E = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - - = - - - - - - - = 3 1 + ( - 7) (1 / 2) 1 - 7 / 2 - 5 / 2 5
Despejar el ángulo del vértice E :
E = tang⁻¹ (3) = 71.
57° E = 71.
57°
19.
- Una recta L1 pasa por los puntosA(3, 2) y B( - 4, - 6) y otra recta L2 pasa por el puntoC( - 7, 1) y el puntoD cuya ordenada es - 6.
Hallarla abscisa del punto D, sabiendo que L1 es perpendicular a la L2.
La condición para que dos rectas sean perpendiculares, es que la multiplicación de sus pendientes tiene que dar - 1
mAB = - 6 - 2 / - 4 - 3 = - 8 / - 7 = 8 / 7
La pendiente de la recta L1 = m = 8 / 7
La pendiente de la recta L2, m = - 7 / 8
la ordenada es - 6, que se encuentra en el eje y
Hallar la abscisa (en el eje x) del punto D
D(x, - 6), y tenemos el punto C( - 7, 1)
Ecuación punto pendiente :
y - y₁ = m (x - x₁) Sustiuir el punto C( - 7, 1)
y - 1 = - 7 / 8 (x + 7)
8(y - 1) = - 7 (x + 7)
8y - 8 = - 7x - 49
8y = - 7x - 49 + 8
8y = - 7x - 41 despejar x
8y + 7x = - 41
7x = - 8y - 41 - 8y - 41
x = - - - - - - - - - - - - - 7
Sustituir el valor del punto D, cuyaordenada es - 6 - 8( - 6) - 41
x = - - - - - - - - - - - - - - - - - 7 48 - 41
x = - - - - - - - - - - - - - 7 7
x = - - - 7
x = 1 o Abscisa
El punto D(1, - 6).