185. Determina la ecuación de una circunferencia de radio r = 5 que es tangente a la recta 3x + 4y - 32 = 0 y pasa por P(5, 4).
ax² + bx + c = 0
En resumen
Respuesta : Hay dos circunferencias que son perpendiculares a la recta dada y pasan por el punto (5, 4) ; sus ecuaciones son : 1) (x - 2)² + y² = 5² 2) (x - 8)² + (y - 8)² = 5² Explicación : A continuación está el procedimiento detallado para hallar la solución del problema.
Respuesta :
Hay dos circunferencias que son perpendiculares a la recta dada y pasan por el punto (5, 4) ; sus ecuaciones son :
1) (x - 2)² + y² = 5²
2) (x - 8)² + (y - 8)² = 5²
Explicación :
A continuación está el procedimiento detallado para hallar la solución del problema.
Te invito a ver la imagen adjunta con las dos circunferencias encontradas.
1) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 4) y es perpendicular a la recta 3x + 4y - 32 = 0
.
A) pendiente de la recta 3x + 4y - 32 = 0
y = - (3 / 4)x + 32 / 4
⇒ pendiente m' = - 3 / 4
b) la pendiente de la recta perpendicular es el negativo del inverso ; es decir
m = - 1 / ( - 3 / 4) = 4 / 3
c) usa la ecuación punto pendiente con m = 4 / 3 y el punto (5, 4)
⇒ y - 4 = (4 / 3) (x - 5)
y = 4x / 3 - 20 / 3 + 4
y = 4x / 3 - 8 / 3
2) Establece la ecuación canónica de la circunferencia :
(x - h)² + (y - k)² = 5²
3) Reemplaza x, y con las coordenadas del punto conocido x = 5, y = 4
⇒ (5 - h)² + (4 - k)² = 25
5) El centro de la circunferencia pertenece a la recta y = 4x / 3 - 8 / 3 ; por tanto, se cumple que :
k = 4h / 3 - 8 / 3
4) Resuelve el sistema de ecuaciones :
(5 - h)² + (4 - k)² = 25
k = 4h / 3 - 8 / 3
Hay dos soluciones :
1) h = 2, k = 0
2) h = 8, k = 8
Eso significa que hay dos circunferencias que son perpendiculares a la recta dada y pasan por el punto (5, 4) ; una tiene centro (2, 0) y la otra centro (8, 8)
Las ecuaciones respectivas son :
1) (x - 2)² + y² = 5²
2) (x - 8)² + (y - 8)² = 5²
Esas son las soluciones.
Mira las circunferencias en la imagen adjunta.
Te invito también a ver otros ejemplos de circunferencias en
brainly.
Lat / tarea / 8766834.
El centro pertenece a la recta perpendicular a la dada que también pasa por el origen. La recta que pasa por el centro es y = 1 / 2 x Sea C (h, k) el centro y r el radio 1) Pasa por el origen : h² + k² = r² 2) Pasa por…
Necesitas estudiar y practicar. Verás que lo puedes resolver tu mismo.
La distancia del punto O a la recta es el radio r. Aplicas la fórmula del punto a la recta r = |3 - 2(4) + 3| / √(1² + 2²) = 2 / √5 la ecuación es : (x - 3)² + (y - 4)² = r² (x - 3)² + (y - 4)² = 4 / 5.
Tan = y / r y es la distancia vertical del punto al eje x r es la distancia del radio.