El centro de la circunferencia (h, k) satisface la ecuación de la recta :
Por lo tanto 3 h + 4 k - 1 = 0 (1)
La distancia desde el centro hasta la recta tangente es el radio.
R = (3 h - 4 k + 8) / √(3² + 4²) ; o bien :
3 h - 4 k + 8 - 25 = 0 (2)
Sumamos las ecuaciones (1) y (2)
6 h - 1 + 8 - 25 = 0 ; por lo tanto h = 3
En consecuencia k = - 2
La circunferencia es (x - 3)² + (y + 2)² = 25
Adjunto gráfico
El segundo es más laborioso.
Explico las ecuaciones fundamentales.
Se trata de una circunferencia que pasa por dos puntos y su centro está en una recta.
El centro es la intersección de la mediatriz entre los dos puntos con la recta que contiene al centro.
1) Buscamos los puntos de intersección
2) Buscamos el punto medio entre los dos anteriores.
3) Hallamos la recta mediatriz (perpendicular por el punto medio)
4) Hallamos la intersección entre la mediatriz y la recta del centro
5) Determinamos la distancia entre elcentro y uno de los puntos de intersección.
Esta distancia es el radio de la circunferencia buscada.
1) (x - 1)² + (y + 5)² = 50 ; (x + 1)² + (y + 1)² = 10
Si restamos las dos ecuaciones resulta una recta.
Interceptamos esta recta con cualquiera de las dos ecuaciones y encontramos los puntos de intersección.
La solución son los puntosP( - 4, 0) ; Q(0, 2)
2) El punto medio entreéstos es : M( - 2, 1)
3) La pendiente entre P y Q es m = 1 / 2
La pendiente de la mediatriz es m' = - 1 / m = - 2
La recta mediatriz esy - 1 = - 2 (x + 2) ; y = - 2 x - 3
4) La intersección con la recta x + y = 0 es el punto ( - 3, 3)
Este punto es el centro de la circunferencia.
5) Radio : r = distancia entre ( - 3, 3) y (0, 2)
r² = ( - 3 - 0)² + (3 - 2)² = 10
Finalmente : (x + 3)² + (y - 3)² = 10 es la circunferencia buscada
Adjunto gráfico
Saludos Herminio.
