1. Una empresa encuentra que el ingreso generado por vender x unidades de cierto producto está dado por la función I(x) = 180x - x2, donde el ingreso I(x) se mide en miles de dólares?

Máximo de una función : indica cuan máximo puede llegar a ser una función (cual es el mayor valor que puede tener) respecto a su variable independiente.

Para encontrar el máximo de una función hallamos la primera derivada, luego de tener los puntos críticos ( resultados de igualar la primera derivada a cero) evaluamos en la segunda derivada y por criterio de la segunda derivada se determina si es máximo o mínimo.

Derivamos la funcion :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%28x%29%20%3D%20180x-x%5E%7B2%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%27%28x%29%20%3D%20180-2x" />

Igualamos a cero :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%27%28x%29%20%3D%20180-2x%20%3D%200" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=180%3D%202x" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%20180%2F2" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%2090" />

El punto critico es x = 90

Hallamos la segunda derivada :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%27%27%28x%29%20%3D-2" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%27%27%2890%29%20%3D-2" />

Por criterio de la segunda derivada si la segunda derivada evaluada en el punto critico es negativo entonces tenemos un máximo.

Calculamos le ingreso :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%28x%29%20%3D%20180%2A90-%2890%29%5E%7B2%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%28x%29%20%3D16200-8100%20%3D%208100" />

Se deben vender 90 unidades para alcanzar un ingreso máximo, y el ingreso máximo sera 8100 miles de dolares.