1. Demostrar que los vectores (2, 1) y (3, 5) forman una base de R2 2. Obtén el valor de (λ, β) que permiten que el vector (41, 45)forme parte del espacio vectorial formado por (2, 1) y (3, 5)y que nos indican el número de unidades que podemos fabricar de cada producto para que no existan excedentes.
Pregunta de Matemáticas · 2 respuestas · 5 votos · mejor respuesta de Osito43478238
En resumen
Dos vectores forman una base en R ^ 2 si son linealmente independientes.
Dos vectores forman una base en R ^ 2 si son linealmente independientes.
Para demostrarlo supongamos que no son linealmente independientes, esto quiere decir que uno es una combinación lineal del otro :
α(2, 1) = (3, 5)
(2α, α) = (3, 5)
Entonces deben ser iguales entrada por entrada :
2α = 3
α = 5
Tenemos que α = 3 / 2 y α = 5, que es una contradicción, por lo tanto lo que supusimos al principio es incorrecto y así concluimos que son linealmente independientes y por lo tanto, forman una base.
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Ahora, para encontrar la combinación lineal de (41, 45) :
λ(2, 1) + β(3, 5) = (41, 45)
(2λ, λ) + (3β, 5β) = (41, 45)
(2λ + 3β, λ + 5β) = (41, 45)
Así,
2λ + 3β = 41
λ + 5β = 45
Multiplicando la segunda ecuación por –2 y sumando la primera obtenemos :
–7β = –49
β = 7
λ + 35 = 45
λ = 10
Así,
(λ, β) = (10, 7).
Si son base, una combinación lineal entre ellos es nula si y sólo si los escalares son simultáneamente nulos
x (2, 1) + y (3, 5) = (0, 0)
Formamos el siguiente sistema de ecuaciones.
2 x + 3 y = 0
x + 5 y = 0
El determinante principal del sistema es 7, por lo tanto las ecuaciones se satisfacen solamente para x = y = 0Por lo tanto forman base.
Ahora : x (2, 1) + y (3, 5) = (41, 45)
Nos queda :
2 x + 3 y = 41
x + 5 y = 45
x = 45 - 5 y ; reemplazamos :
2 (45 - 5 y) + 3 y = 41
90 - 10 y + 3 y = 41 - 7 y = 41 - 90 = - 49
De modo que y = 7 ; resulta x = 10
Saludos Herminio.
Dos vectores forman una base en R ^ 2 si son linealmente independientes.
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