Una particula de 4 kg se mueve a lo largo del eje x : Su posicion varia con el tiempo de acuerdo ccon x(t) = t + 2 ^ 3 donde x se mide en metros y t en segundos encuentre : a) la energia cinetica en c?

A) Para obtener la energía cinética necesitamos conocer la velocidad de la partícula.

Para ello derivamos la ecuación de la posición con respecto del tiempo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=v%3D%5Cfrac%7Bd%28%28t%2B2%29%5E3%7D%7Bdt%7D%3D3%28t%2B2%29%5E2" /> (Ecuación 1)

Ahora podemos escribir la energía cinética en función del tiempo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=E_c%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5B3%28t%2B2%29%5E2%5D%5E2%20%3D%20%5Cbf%2018%28t%2B2%29%5E4%5C%20%28J%29" />

b) La aceleración de la partícula se puede obtener haciendo la derivada de la velocidad (Ecuación 1) con respecto del tiempo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Cfrac%7Bd%283%28t%2B2%29%5E2%7D%7Bdt%7D%3D%5Cbf%7B6%28t%2B2%29%5C%20%28m%2Fs%5E2%29%7D" />

La fuerza que actúa sobre ella, aplicando la segunda ley de la Dinámica, será :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%20%3D%20m%5Ccdot%20a%20%3D%204%5Ccdot%206%28t%2B2%29%20%3D%20%5Cbf%7B24%28t%2B2%29%5C%20%28N%29%7D" />

c) El trabajo es el producto de la fuerza aplicada por la distancia recorrida.

Debemos hacer la integral definida para el intervalo dado :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=W%20%3D%20%5Cint_0%5E2%20F%5Ccdot%20x%5Ccdot%20dt%20%3D%20%5Cint_0%5E2%2024%28t%2B2%29%5Ccdot%20%28t%2B2%29%5E3%5Ccdot%20dt%20%3D%2024%5Cint_0%5E2%20%28t%2B2%29%5E4%5Ccdot%20dt" />

Resolviendo la integral :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=W%20%3D%2024%5B%5Cfrac%7B%28t%2B2%29%5E5%7D%7B5%7D%5D_0%5E2%20%3D%2024%5Ccdot%20%5Cfrac%7B992%7D%7B5%7D%20%3D%20%5Cbf%204%5C%20761%2C6%5C%20J" />.