Para un cuerpo en movimiento rectilíneo cuya aceleración está dada por a = 32 - 4v, las condiciones iniciales son xo = 0 , vo = 4 y to = 0s?

Veamos.

La aceleración es la derivada de la velocidad, respecto del tiempo.

A = dv / dt = 32 - 4 v ; por lo tanto

dt = dv / (32 - 4 v) ; integramos :

t = - 1 / 4 Ln(32 - 4 v) + C

Determinamos la constante de integración de modo que para t = 0,

vo = 4 :

0 = - 1 / 4 Ln (32 - 4 .

4) + C ;

C = 1 / 4 Ln(16) ;

t = - 1 / 4 Ln(32 - 4 v) + 1 / 4 Ln(16)

Hay que despejar v

Ln(32 - 4 v) = - 4 t + Ln(16)

32 - 4 v = e ^ [ - 4 t + Ln(16)] = e ^ ( - 4 t) .

E ^ [Ln(16)] = 16 e ^ ( - 4t)

Finalmente v = 8 - 4 e ^ ( - 4 t)

La posición es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

V = dx / dt = 8 - 4 e ^ ( - 4 t)

dx = [8 - 4 e ^ ( - 4 t)[ dt ; integramos :

x = 8 t + e ^ ( - 4 t) + C

Nuevamente, para t = 0, x = 0 = 1 + C ; C = - 1

Finalmente x = e ^ ( - 4 t) + 8 t - 1)

Adjunto grafica de velocidad y posición respecto del tiempo.

La velocidad se estabiliza en v = 8 mientras que x se transforma en una línea recta.

Esto quiere decir que para un tiempo de 1, 5segundos (aproximado) el movimiento pasa a ser rectilíneo uniforme.

Un ejemplo real de este caso puede ser un automóvil que acelera.

Cuando la aceleración se anula (para v = 8) la velocidad es máxima y tenemos movimiento uniforme

Saludos Herminio.